Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41080 / 8344
↖ ↑ ↗
← N 79.013340°
E 45.659180°		 ← 116.40 m → N 79.013340°
E 45.664673°		 →
↑
116.40 m
↓
↑
116.40 m
↓
N 79.012293°
E 45.659180°		 ← 116.42 m →
13 550 m²		 N 79.012293°
E 45.664673°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41080 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8344 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.626838684082031 y=0.127326965332031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.626838684082031 × 216)
    floor (0.626838684082031 × 65536)
    floor (41080.5)     		tx = 41080
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.127326965332031 × 216)
    floor (0.127326965332031 × 65536)
    floor (8344.5)     		ty = 8344
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41080 / 8344 ti = "16/41080/8344"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41080/8344.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41080 ÷ 216
    41080 ÷ 65536     		x = 0.6268310546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8344 ÷ 216
    8344 ÷ 65536     		y = 0.1273193359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6268310546875 × 2 - 1) × π
    0.253662109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.79690302
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1273193359375 × 2 - 1) × π
    0.745361328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.3416216726405
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.79690302} λ = 0.79690302}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.3416216726405))-π/2
    2×atan(10.398085187825)-π/2
    2×1.47491963514881-π/2
    2.94983927029762-1.57079632675     		φ = 1.37904294
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.79690302} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.659180°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37904294 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.013340°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41080 KachelY 8344 0.79690302 1.37904294 45.659180 79.013340
    Oben rechts KachelX + 1 41081 KachelY 8344 0.79699889 1.37904294 45.664673 79.013340
    Unten links KachelX 41080 KachelY + 1 8345 0.79690302 1.37902467 45.659180 79.012293
    Unten rechts KachelX + 1 41081 KachelY + 1 8345 0.79699889 1.37902467 45.664673 79.012293
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37904294-1.37902467) × R
    1.82699999999869e-05 × 6371000     		dl = 116.398169999917m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37904294-1.37902467) × R
    1.82699999999869e-05 × 6371000     		dr = 116.398169999917m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.79690302-0.79699889) × cos(1.37904294) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.190580437042093 × 6371000     		do = 116.404200146563m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.79690302-0.79699889) × cos(1.37902467) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.190598372150107 × 6371000     		du = 116.415154691192m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37904294)-sin(1.37902467))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.190580437042093-0.190598372150107)×R²
    abs(0.79699889-0.79690302)×1.79351080145662e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.79351080145662e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.79351080145662e-05×40589641000000     		ar = 13549.8734225682m²