Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41086 / 8318
↖ ↑ ↗
← N 79.040527°
E 45.692139°		 ← 116.13 m → N 79.040527°
E 45.697632°		 →
↑
116.14 m
↓
↑
116.14 m
↓
N 79.039482°
E 45.692139°		 ← 116.14 m →
13 489 m²		 N 79.039482°
E 45.697632°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41086 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8318 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.626930236816406 y=0.126930236816406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.626930236816406 × 216)
    floor (0.626930236816406 × 65536)
    floor (41086.5)     		tx = 41086
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.126930236816406 × 216)
    floor (0.126930236816406 × 65536)
    floor (8318.5)     		ty = 8318
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41086 / 8318 ti = "16/41086/8318"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41086/8318.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41086 ÷ 216
    41086 ÷ 65536     		x = 0.626922607421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8318 ÷ 216
    8318 ÷ 65536     		y = 0.126922607421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.626922607421875 × 2 - 1) × π
    0.25384521484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.79747826
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.126922607421875 × 2 - 1) × π
    0.74615478515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.34411439142075
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.79747826} λ = 0.79747826}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.34411439142075))-π/2
    2×atan(10.4240370219254)-π/2
    2×1.47515687646605-π/2
    2.95031375293211-1.57079632675     		φ = 1.37951743
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.79747826} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.692139°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37951743 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.040527°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41086 KachelY 8318 0.79747826 1.37951743 45.692139 79.040527
    Oben rechts KachelX + 1 41087 KachelY 8318 0.79757414 1.37951743 45.697632 79.040527
    Unten links KachelX 41086 KachelY + 1 8319 0.79747826 1.37949920 45.692139 79.039482
    Unten rechts KachelX + 1 41087 KachelY + 1 8319 0.79757414 1.37949920 45.697632 79.039482
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37951743-1.37949920) × R
    1.8230000000008e-05 × 6371000     		dl = 116.143330000051m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37951743-1.37949920) × R
    1.8230000000008e-05 × 6371000     		dr = 116.143330000051m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.79747826-0.79757414) × cos(1.37951743) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.190114622256406 × 6371000     		do = 116.131798375025m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.79747826-0.79757414) × cos(1.37949920) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.190132519744271 × 6371000     		du = 116.142731081975m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37951743)-sin(1.37949920))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.190114622256406-0.190132519744271)×R²
    abs(0.79757414-0.79747826)×1.78974878649596e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.78974878649596e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.78974878649596e-05×40589641000000     		ar = 13488.5686629066m²