Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41087 / 41089
↖ ↑ ↗
← S 41.512691°
E 45.697632°		 ← 457.36 m → S 41.512691°
E 45.703125°		 →
↑
457.31 m
↓
↑
457.31 m
↓
S 41.516804°
E 45.697632°		 ← 457.33 m →
209 150 m²		 S 41.516804°
E 45.703125°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41087 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41089 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.626945495605469 y=0.626976013183594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.626945495605469 × 216)
    floor (0.626945495605469 × 65536)
    floor (41087.5)     		tx = 41087
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.626976013183594 × 216)
    floor (0.626976013183594 × 65536)
    floor (41089.5)     		ty = 41089
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41087 / 41089 ti = "16/41087/41089"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41087/41089.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41087 ÷ 216
    41087 ÷ 65536     		x = 0.626937866210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41089 ÷ 216
    41089 ÷ 65536     		y = 0.626968383789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.626937866210938 × 2 - 1) × π
    0.253875732421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.79757414
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.626968383789062 × 2 - 1) × π
    -0.253936767578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.797765883476975
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.79757414} λ = 0.79757414}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.797765883476975))-π/2
    2×atan(0.450333939578362)-π/2
    2×0.423131595857323-π/2
    0.846263191714646-1.57079632675     		φ = -0.72453314
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.79757414} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.697632°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72453314 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.512691°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41087 KachelY 41089 0.79757414 -0.72453314 45.697632 -41.512691
    Oben rechts KachelX + 1 41088 KachelY 41089 0.79767001 -0.72453314 45.703125 -41.512691
    Unten links KachelX 41087 KachelY + 1 41090 0.79757414 -0.72460492 45.697632 -41.516804
    Unten rechts KachelX + 1 41088 KachelY + 1 41090 0.79767001 -0.72460492 45.703125 -41.516804
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72453314--0.72460492) × R
    7.17799999999658e-05 × 6371000     		dl = 457.310379999782m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72453314--0.72460492) × R
    7.17799999999658e-05 × 6371000     		dr = 457.310379999782m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.79757414-0.79767001) × cos(-0.72453314) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.748808931796866 × 6371000     		do = 457.36333760828m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.79757414-0.79767001) × cos(-0.72460492) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.748761355094071 × 6371000     		du = 457.334278340076m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72453314)-sin(-0.72460492))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.748808931796866-0.748761355094071)×R²
    abs(0.79767001-0.79757414)×4.75767027948715e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.75767027948715e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.75767027948715e-05×40589641000000     		ar = 209150.357256947m²