Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41088 / 24960
↖ ↑ ↗
← N 39.368279°
E 45.703125°		 ← 472.19 m → N 39.368279°
E 45.708618°		 →
↑
472.22 m
↓
↑
472.22 m
↓
N 39.364032°
E 45.703125°		 ← 472.22 m →
222 984 m²		 N 39.364032°
E 45.708618°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41088 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24960 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.626960754394531 y=0.380867004394531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.626960754394531 × 216)
    floor (0.626960754394531 × 65536)
    floor (41088.5)     		tx = 41088
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.380867004394531 × 216)
    floor (0.380867004394531 × 65536)
    floor (24960.5)     		ty = 24960
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41088 / 24960 ti = "16/41088/24960"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41088/24960.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41088 ÷ 216
    41088 ÷ 65536     		x = 0.626953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24960 ÷ 216
    24960 ÷ 65536     		y = 0.380859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.626953125 × 2 - 1) × π
    0.25390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.79767001
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.380859375 × 2 - 1) × π
    0.23828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.748582624466797
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.79767001} λ = 0.79767001}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.748582624466797))-π/2
    2×atan(2.11400155805821)-π/2
    2×1.12895120938772-π/2
    2.25790241877543-1.57079632675     		φ = 0.68710609
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.79767001} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.703125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.68710609 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.368279°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41088 KachelY 24960 0.79767001 0.68710609 45.703125 39.368279
    Oben rechts KachelX + 1 41089 KachelY 24960 0.79776588 0.68710609 45.708618 39.368279
    Unten links KachelX 41088 KachelY + 1 24961 0.79767001 0.68703197 45.703125 39.364032
    Unten rechts KachelX + 1 41089 KachelY + 1 24961 0.79776588 0.68703197 45.708618 39.364032
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.68710609-0.68703197) × R
    7.41199999999553e-05 × 6371000     		dl = 472.218519999715m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.68710609-0.68703197) × R
    7.41199999999553e-05 × 6371000     		dr = 472.218519999715m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.79767001-0.79776588) × cos(0.68710609) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.773084864262395 × 6371000     		do = 472.190780263571m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.79767001-0.79776588) × cos(0.68703197) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.773131876647737 × 6371000     		du = 472.219494853576m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.68710609)-sin(0.68703197))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.773084864262395-0.773131876647737)×R²
    abs(0.79776588-0.79767001)×4.70123853422155e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.70123853422155e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.70123853422155e-05×40589641000000     		ar = 222984.011296197m²