Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41089 / 41087
↖ ↑ ↗
← S 41.504463°
E 45.708618°		 ← 457.47 m → S 41.504463°
E 45.714111°		 →
↑
457.44 m
↓
↑
457.44 m
↓
S 41.508577°
E 45.708618°		 ← 457.44 m →
209 257 m²		 S 41.508577°
E 45.714111°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41089 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41087 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.626976013183594 y=0.626945495605469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.626976013183594 × 216)
    floor (0.626976013183594 × 65536)
    floor (41089.5)     		tx = 41089
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.626945495605469 × 216)
    floor (0.626945495605469 × 65536)
    floor (41087.5)     		ty = 41087
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41089 / 41087 ti = "16/41089/41087"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41089/41087.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41089 ÷ 216
    41089 ÷ 65536     		x = 0.626968383789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41087 ÷ 216
    41087 ÷ 65536     		y = 0.626937866210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.626968383789062 × 2 - 1) × π
    0.253936767578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.79776588
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.626937866210938 × 2 - 1) × π
    -0.253875732421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.797574135878494
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.79776588} λ = 0.79776588}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.797574135878494))-π/2
    2×atan(0.450420298309065)-π/2
    2×0.423203391576662-π/2
    0.846406783153324-1.57079632675     		φ = -0.72438954
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.79776588} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.708618°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72438954 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.504463°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41089 KachelY 41087 0.79776588 -0.72438954 45.708618 -41.504463
    Oben rechts KachelX + 1 41090 KachelY 41087 0.79786176 -0.72438954 45.714111 -41.504463
    Unten links KachelX 41089 KachelY + 1 41088 0.79776588 -0.72446134 45.708618 -41.508577
    Unten rechts KachelX + 1 41090 KachelY + 1 41088 0.79786176 -0.72446134 45.714111 -41.508577
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72438954--0.72446134) × R
    7.17999999999552e-05 × 6371000     		dl = 457.437799999715m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72438954--0.72446134) × R
    7.17999999999552e-05 × 6371000     		dr = 457.437799999715m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.79776588-0.79786176) × cos(-0.72438954) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.748904100134929 × 6371000     		do = 457.46917794519m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.79776588-0.79786176) × cos(-0.72446134) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.748856517896165 × 6371000     		du = 457.440112264219m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72438954)-sin(-0.72446134))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.748904100134929-0.748856517896165)×R²
    abs(0.79786176-0.79776588)×4.7582238763666e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.7582238763666e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.7582238763666e-05×40589641000000     		ar = 209257.046546299m²