Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41089 / 8577
↖ ↑ ↗
← N 78.766722°
E 45.708618°		 ← 119 m → N 78.766722°
E 45.714111°		 →
↑
119.01 m
↓
↑
119.01 m
↓
N 78.765652°
E 45.708618°		 ← 119.01 m →
14 162 m²		 N 78.765652°
E 45.714111°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41089 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8577 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.626976013183594 y=0.130882263183594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.626976013183594 × 216)
    floor (0.626976013183594 × 65536)
    floor (41089.5)     		tx = 41089
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.130882263183594 × 216)
    floor (0.130882263183594 × 65536)
    floor (8577.5)     		ty = 8577
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41089 / 8577 ti = "16/41089/8577"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41089/8577.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41089 ÷ 216
    41089 ÷ 65536     		x = 0.626968383789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8577 ÷ 216
    8577 ÷ 65536     		y = 0.130874633789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.626968383789062 × 2 - 1) × π
    0.253936767578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.79776588
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.130874633789062 × 2 - 1) × π
    0.738250732421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.31928307741756
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.79776588} λ = 0.79776588}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.31928307741756))-π/2
    2×atan(10.1683817497832)-π/2
    2×1.47276748087659-π/2
    2.94553496175318-1.57079632675     		φ = 1.37473864
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.79776588} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.708618°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37473864 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.766722°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41089 KachelY 8577 0.79776588 1.37473864 45.708618 78.766722
    Oben rechts KachelX + 1 41090 KachelY 8577 0.79786176 1.37473864 45.714111 78.766722
    Unten links KachelX 41089 KachelY + 1 8578 0.79776588 1.37471996 45.708618 78.765652
    Unten rechts KachelX + 1 41090 KachelY + 1 8578 0.79786176 1.37471996 45.714111 78.765652
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37473864-1.37471996) × R
    1.86799999999376e-05 × 6371000     		dl = 119.010279999603m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37473864-1.37471996) × R
    1.86799999999376e-05 × 6371000     		dr = 119.010279999603m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.79776588-0.79786176) × cos(1.37473864) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.194804067550768 × 6371000     		do = 118.996352973328m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.79776588-0.79786176) × cos(1.37471996) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.194822389648636 × 6371000     		du = 119.007545053928m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37473864)-sin(1.37471996))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.194804067550768-0.194822389648636)×R²
    abs(0.79786176-0.79776588)×1.83220978688114e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.83220978688114e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.83220978688114e-05×40589641000000     		ar = 14162.4552730485m²