Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41090 / 57474
↖ ↑ ↗
← S 79.304679°
E 45.714111°		 ← 113.35 m → S 79.304679°
E 45.719604°		 →
↑
113.34 m
↓
↑
113.34 m
↓
S 79.305698°
E 45.714111°		 ← 113.34 m →
12 847 m²		 S 79.305698°
E 45.719604°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41090 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57474 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.626991271972656 y=0.876991271972656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.626991271972656 × 216)
    floor (0.626991271972656 × 65536)
    floor (41090.5)     		tx = 41090
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.876991271972656 × 216)
    floor (0.876991271972656 × 65536)
    floor (57474.5)     		ty = 57474
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41090 / 57474 ti = "16/41090/57474"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41090/57474.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41090 ÷ 216
    41090 ÷ 65536     		x = 0.626983642578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57474 ÷ 216
    57474 ÷ 65536     		y = 0.876983642578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.626983642578125 × 2 - 1) × π
    0.25396728515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.79786176
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.876983642578125 × 2 - 1) × π
    -0.75396728515625 × 3.1415926535     		Φ = -2.36865808402621
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.79786176} λ = 0.79786176}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.36865808402621))-π/2
    2×atan(0.0936062537627236)-π/2
    2×0.0933342854060583-π/2
    0.186668570812117-1.57079632675     		φ = -1.38412776
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.79786176} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.714111°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38412776 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.304679°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41090 KachelY 57474 0.79786176 -1.38412776 45.714111 -79.304679
    Oben rechts KachelX + 1 41091 KachelY 57474 0.79795763 -1.38412776 45.719604 -79.304679
    Unten links KachelX 41090 KachelY + 1 57475 0.79786176 -1.38414555 45.714111 -79.305698
    Unten rechts KachelX + 1 41091 KachelY + 1 57475 0.79795763 -1.38414555 45.719604 -79.305698
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38412776--1.38414555) × R
    1.77900000000175e-05 × 6371000     		dl = 113.340090000112m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38412776--1.38414555) × R
    1.77900000000175e-05 × 6371000     		dr = 113.340090000112m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.79786176-0.79795763) × cos(-1.38412776) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.185586371492202 × 6371000     		do = 113.353885986111m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.79786176-0.79795763) × cos(-1.38414555) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.185568890511509 × 6371000     		du = 113.343208816896m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38412776)-sin(-1.38414555))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185586371492202-0.185568890511509)×R²
    abs(0.79795763-0.79786176)×1.74809806930687e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.74809806930687e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.74809806930687e-05×40589641000000     		ar = 12846.9345639035m²