Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41090 / 8322
↖ ↑ ↗
← N 79.036348°
E 45.714111°		 ← 116.16 m → N 79.036348°
E 45.719604°		 →
↑
116.14 m
↓
↑
116.14 m
↓
N 79.035303°
E 45.714111°		 ← 116.17 m →
13 492 m²		 N 79.035303°
E 45.719604°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41090 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8322 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.626991271972656 y=0.126991271972656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.626991271972656 × 216)
    floor (0.626991271972656 × 65536)
    floor (41090.5)     		tx = 41090
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.126991271972656 × 216)
    floor (0.126991271972656 × 65536)
    floor (8322.5)     		ty = 8322
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41090 / 8322 ti = "16/41090/8322"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41090/8322.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41090 ÷ 216
    41090 ÷ 65536     		x = 0.626983642578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8322 ÷ 216
    8322 ÷ 65536     		y = 0.126983642578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.626983642578125 × 2 - 1) × π
    0.25396728515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.79786176
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.126983642578125 × 2 - 1) × π
    0.74603271484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.34373089622379
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.79786176} λ = 0.79786176}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.34373089622379))-π/2
    2×atan(10.4200402202207)-π/2
    2×1.47512041557976-π/2
    2.95024083115951-1.57079632675     		φ = 1.37944450
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.79786176} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.714111°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37944450 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.036348°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41090 KachelY 8322 0.79786176 1.37944450 45.714111 79.036348
    Oben rechts KachelX + 1 41091 KachelY 8322 0.79795763 1.37944450 45.719604 79.036348
    Unten links KachelX 41090 KachelY + 1 8323 0.79786176 1.37942627 45.714111 79.035303
    Unten rechts KachelX + 1 41091 KachelY + 1 8323 0.79795763 1.37942627 45.719604 79.035303
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37944450-1.37942627) × R
    1.8230000000008e-05 × 6371000     		dl = 116.143330000051m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37944450-1.37942627) × R
    1.8230000000008e-05 × 6371000     		dr = 116.143330000051m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.79786176-0.79795763) × cos(1.37944450) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.190186221646198 × 6371000     		do = 116.163418204005m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.79786176-0.79795763) × cos(1.37942627) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.190204118881244 × 6371000     		du = 116.174349616287m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37944450)-sin(1.37942627))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.190186221646198-0.190204118881244)×R²
    abs(0.79795763-0.79786176)×1.78972350454443e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.78972350454443e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.78972350454443e-05×40589641000000     		ar = 13492.2410199533m²