Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41096 / 24712
↖ ↑ ↗
← N 40.413496°
E 45.747070°		 ← 465.05 m → N 40.413496°
E 45.752563°		 →
↑
465.08 m
↓
↑
465.08 m
↓
N 40.409314°
E 45.747070°		 ← 465.07 m →
216 291 m²		 N 40.409314°
E 45.752563°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41096 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24712 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.627082824707031 y=0.377082824707031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.627082824707031 × 216)
    floor (0.627082824707031 × 65536)
    floor (41096.5)     		tx = 41096
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.377082824707031 × 216)
    floor (0.377082824707031 × 65536)
    floor (24712.5)     		ty = 24712
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41096 / 24712 ti = "16/41096/24712"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41096/24712.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41096 ÷ 216
    41096 ÷ 65536     		x = 0.6270751953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24712 ÷ 216
    24712 ÷ 65536     		y = 0.3770751953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6270751953125 × 2 - 1) × π
    0.254150390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.79843700
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3770751953125 × 2 - 1) × π
    0.245849609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.772359326678345
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.79843700} λ = 0.79843700}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.772359326678345))-π/2
    2×atan(2.16486786374222)-π/2
    2×1.13807244754355-π/2
    2.27614489508711-1.57079632675     		φ = 0.70534857
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.79843700} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.747070°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.70534857 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 40.413496°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41096 KachelY 24712 0.79843700 0.70534857 45.747070 40.413496
    Oben rechts KachelX + 1 41097 KachelY 24712 0.79853287 0.70534857 45.752563 40.413496
    Unten links KachelX 41096 KachelY + 1 24713 0.79843700 0.70527557 45.747070 40.409314
    Unten rechts KachelX + 1 41097 KachelY + 1 24713 0.79853287 0.70527557 45.752563 40.409314
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.70534857-0.70527557) × R
    7.29999999999897e-05 × 6371000     		dl = 465.082999999935m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.70534857-0.70527557) × R
    7.29999999999897e-05 × 6371000     		dr = 465.082999999935m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.79843700-0.79853287) × cos(0.70534857) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.761385620346375 × 6371000     		do = 465.045025161419m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.79843700-0.79853287) × cos(0.70527557) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.761432944163974 × 6371000     		du = 465.073929970438m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.70534857)-sin(0.70527557))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.761385620346375-0.761432944163974)×R²
    abs(0.79853287-0.79843700)×4.73238175983104e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.73238175983104e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.73238175983104e-05×40589641000000     		ar = 216291.257100807m²