Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41096 / 57480
↖ ↑ ↗
← S 79.310794°
E 45.747070°		 ← 113.29 m → S 79.310794°
E 45.752563°		 →
↑
113.28 m
↓
↑
113.28 m
↓
S 79.311812°
E 45.747070°		 ← 113.28 m →
12 832 m²		 S 79.311812°
E 45.752563°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41096 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57480 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.627082824707031 y=0.877082824707031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.627082824707031 × 216)
    floor (0.627082824707031 × 65536)
    floor (41096.5)     		tx = 41096
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.877082824707031 × 216)
    floor (0.877082824707031 × 65536)
    floor (57480.5)     		ty = 57480
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41096 / 57480 ti = "16/41096/57480"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41096/57480.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41096 ÷ 216
    41096 ÷ 65536     		x = 0.6270751953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57480 ÷ 216
    57480 ÷ 65536     		y = 0.8770751953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6270751953125 × 2 - 1) × π
    0.254150390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.79843700
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.8770751953125 × 2 - 1) × π
    -0.754150390625 × 3.1415926535     		Φ = -2.36923332682166
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.79843700} λ = 0.79843700}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.36923332682166))-π/2
    2×atan(0.0935524229240239)-π/2
    2×0.0932809218767369-π/2
    0.186561843753474-1.57079632675     		φ = -1.38423448
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.79843700} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.747070°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38423448 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.310794°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41096 KachelY 57480 0.79843700 -1.38423448 45.747070 -79.310794
    Oben rechts KachelX + 1 41097 KachelY 57480 0.79853287 -1.38423448 45.752563 -79.310794
    Unten links KachelX 41096 KachelY + 1 57481 0.79843700 -1.38425226 45.747070 -79.311812
    Unten rechts KachelX + 1 41097 KachelY + 1 57481 0.79853287 -1.38425226 45.752563 -79.311812
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38423448--1.38425226) × R
    1.77800000000783e-05 × 6371000     		dl = 113.276380000499m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38423448--1.38425226) × R
    1.77800000000783e-05 × 6371000     		dr = 113.276380000499m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.79843700-0.79853287) × cos(-1.38423448) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.185481504380165 × 6371000     		do = 113.289834436604m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.79843700-0.79853287) × cos(-1.38425226) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.185464032873754 × 6371000     		du = 113.279163054164m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38423448)-sin(-1.38425226))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185481504380165-0.185464032873754)×R²
    abs(0.79853287-0.79843700)×1.74715064112374e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.74715064112374e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.74715064112374e-05×40589641000000     		ar = 12832.4579284282m²