Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41097 / 8327
↖ ↑ ↗
← N 79.031123°
E 45.752563°		 ← 116.23 m → N 79.031123°
E 45.758057°		 →
↑
116.21 m
↓
↑
116.21 m
↓
N 79.030078°
E 45.752563°		 ← 116.24 m →
13 507 m²		 N 79.030078°
E 45.758057°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41097 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8327 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.627098083496094 y=0.127067565917969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.627098083496094 × 216)
    floor (0.627098083496094 × 65536)
    floor (41097.5)     		tx = 41097
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.127067565917969 × 216)
    floor (0.127067565917969 × 65536)
    floor (8327.5)     		ty = 8327
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41097 / 8327 ti = "16/41097/8327"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41097/8327.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41097 ÷ 216
    41097 ÷ 65536     		x = 0.627090454101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8327 ÷ 216
    8327 ÷ 65536     		y = 0.127059936523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.627090454101562 × 2 - 1) × π
    0.254180908203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.79853287
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.127059936523438 × 2 - 1) × π
    0.745880126953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.34325152722758
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.79853287} λ = 0.79853287}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.34325152722758))-π/2
    2×atan(10.4150463730433)-π/2
    2×1.47507482016356-π/2
    2.95014964032712-1.57079632675     		φ = 1.37935331
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.79853287} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.752563°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37935331 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.031123°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41097 KachelY 8327 0.79853287 1.37935331 45.752563 79.031123
    Oben rechts KachelX + 1 41098 KachelY 8327 0.79862875 1.37935331 45.758057 79.031123
    Unten links KachelX 41097 KachelY + 1 8328 0.79853287 1.37933507 45.752563 79.030078
    Unten rechts KachelX + 1 41098 KachelY + 1 8328 0.79862875 1.37933507 45.758057 79.030078
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37935331-1.37933507) × R
    1.82399999999472e-05 × 6371000     		dl = 116.207039999664m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37935331-1.37933507) × R
    1.82399999999472e-05 × 6371000     		dr = 116.207039999664m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.79853287-0.79862875) × cos(1.37935331) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.190275746458483 × 6371000     		do = 116.230221332327m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.79853287-0.79862875) × cos(1.37933507) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.190293653194547 × 6371000     		du = 116.241159688554m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37935331)-sin(1.37933507))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.190275746458483-0.190293653194547)×R²
    abs(0.79862875-0.79853287)×1.79067360638607e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.79067360638607e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.79067360638607e-05×40589641000000     		ar = 13507.4055370325m²