Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41098 / 8330
↖ ↑ ↗
← N 79.027987°
E 45.758057°		 ← 116.25 m → N 79.027987°
E 45.763550°		 →
↑
116.27 m
↓
↑
116.27 m
↓
N 79.026942°
E 45.758057°		 ← 116.26 m →
13 517 m²		 N 79.026942°
E 45.763550°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41098 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8330 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.627113342285156 y=0.127113342285156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.627113342285156 × 216)
    floor (0.627113342285156 × 65536)
    floor (41098.5)     		tx = 41098
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.127113342285156 × 216)
    floor (0.127113342285156 × 65536)
    floor (8330.5)     		ty = 8330
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41098 / 8330 ti = "16/41098/8330"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41098/8330.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41098 ÷ 216
    41098 ÷ 65536     		x = 0.627105712890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8330 ÷ 216
    8330 ÷ 65536     		y = 0.127105712890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.627105712890625 × 2 - 1) × π
    0.25421142578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.79862875
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.127105712890625 × 2 - 1) × π
    0.74578857421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.34296390582986
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.79862875} λ = 0.79862875}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.34296390582986))-π/2
    2×atan(10.4120512136048)-π/2
    2×1.47504745261234-π/2
    2.95009490522467-1.57079632675     		φ = 1.37929858
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.79862875} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.758057°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37929858 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.027987°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41098 KachelY 8330 0.79862875 1.37929858 45.758057 79.027987
    Oben rechts KachelX + 1 41099 KachelY 8330 0.79872462 1.37929858 45.763550 79.027987
    Unten links KachelX 41098 KachelY + 1 8331 0.79862875 1.37928033 45.758057 79.026942
    Unten rechts KachelX + 1 41099 KachelY + 1 8331 0.79872462 1.37928033 45.763550 79.026942
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37929858-1.37928033) × R
    1.82499999998864e-05 × 6371000     		dl = 116.270749999276m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37929858-1.37928033) × R
    1.82499999998864e-05 × 6371000     		dr = 116.270749999276m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.79862875-0.79872462) × cos(1.37929858) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.190329476293941 × 6371000     		do = 116.250916390841m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.79862875-0.79872462) × cos(1.37928033) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.190347392657189 × 6371000     		du = 116.261859486396m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37929858)-sin(1.37928033))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.190329476293941-0.190347392657189)×R²
    abs(0.79872462-0.79862875)×1.79163632484658e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.79163632484658e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.79163632484658e-05×40589641000000     		ar = 13517.2174182974m²