Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41104 / 8592
↖ ↑ ↗
← N 78.750659°
E 45.791016°		 ← 119.15 m → N 78.750659°
E 45.796509°		 →
↑
119.20 m
↓
↑
119.20 m
↓
N 78.749587°
E 45.791016°		 ← 119.16 m →
14 204 m²		 N 78.749587°
E 45.796509°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41104 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8592 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.627204895019531 y=0.131111145019531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.627204895019531 × 216)
    floor (0.627204895019531 × 65536)
    floor (41104.5)     		tx = 41104
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.131111145019531 × 216)
    floor (0.131111145019531 × 65536)
    floor (8592.5)     		ty = 8592
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41104 / 8592 ti = "16/41104/8592"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41104/8592.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41104 ÷ 216
    41104 ÷ 65536     		x = 0.627197265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8592 ÷ 216
    8592 ÷ 65536     		y = 0.131103515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.627197265625 × 2 - 1) × π
    0.25439453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.79920399
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.131103515625 × 2 - 1) × π
    0.73779296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.31784497042895
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.79920399} λ = 0.79920399}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.31784497042895))-π/2
    2×atan(10.1537690387654)-π/2
    2×1.47262730749143-π/2
    2.94525461498286-1.57079632675     		φ = 1.37445829
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.79920399} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.791016°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37445829 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.750659°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41104 KachelY 8592 0.79920399 1.37445829 45.791016 78.750659
    Oben rechts KachelX + 1 41105 KachelY 8592 0.79929986 1.37445829 45.796509 78.750659
    Unten links KachelX 41104 KachelY + 1 8593 0.79920399 1.37443958 45.791016 78.749587
    Unten rechts KachelX + 1 41105 KachelY + 1 8593 0.79929986 1.37443958 45.796509 78.749587
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37445829-1.37443958) × R
    1.87099999999774e-05 × 6371000     		dl = 119.201409999856m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37445829-1.37443958) × R
    1.87099999999774e-05 × 6371000     		dr = 119.201409999856m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.79920399-0.79929986) × cos(1.37445829) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.195079038995934 × 6371000     		do = 119.151891202067m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.79920399-0.79929986) × cos(1.37443958) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.195097389496375 × 6371000     		du = 119.16309946331m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37445829)-sin(1.37443958))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.195079038995934-0.195097389496375)×R²
    abs(0.79929986-0.79920399)×1.83505004403561e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.83505004403561e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.83505004403561e-05×40589641000000     		ar = 14203.741456521m²