Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4111 / 4109
↖ ↑ ↗
← S  0.571280°
E  0.659180°		 ← 4 886.25 m → S  0.571280°
E  0.703125°		 →
↑
4 886.24 m
↓
↑
4 886.24 m
↓
S  0.615223°
E  0.659180°		 ← 4 886.21 m →
23 875 291 m²		 S  0.615223°
E  0.703125°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4111 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4109 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.50189208984375 y=0.50164794921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.50189208984375 × 213)
    floor (0.50189208984375 × 8192)
    floor (4111.5)     		tx = 4111
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.50164794921875 × 213)
    floor (0.50164794921875 × 8192)
    floor (4109.5)     		ty = 4109
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4111 / 4109 ti = "13/4111/4109"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4111/4109.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4111 ÷ 213
    4111 ÷ 8192     		x = 0.5018310546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4109 ÷ 213
    4109 ÷ 8192     		y = 0.5015869140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5018310546875 × 2 - 1) × π
    0.003662109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.01150486
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5015869140625 × 2 - 1) × π
    -0.003173828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.00997087512097168
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01150486} λ = 0.01150486}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.00997087512097168))-π/2
    2×atan(0.990078669250721)-π/2
    2×0.780412808442239-π/2
    1.56082561688448-1.57079632675     		φ = -0.00997071
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01150486} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.659180°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.00997071 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.571280°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4111 KachelY 4109 0.01150486 -0.00997071 0.659180 -0.571280
    Oben rechts KachelX + 1 4112 KachelY 4109 0.01227185 -0.00997071 0.703125 -0.571280
    Unten links KachelX 4111 KachelY + 1 4110 0.01150486 -0.01073766 0.659180 -0.615223
    Unten rechts KachelX + 1 4112 KachelY + 1 4110 0.01227185 -0.01073766 0.703125 -0.615223
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.00997071--0.01073766) × R
    0.000766949999999999 × 6371000     		dl = 4886.23844999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.00997071--0.01073766) × R
    0.000766949999999999 × 6371000     		dr = 4886.23844999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01150486-0.01227185) × cos(-0.00997071) × R
    0.00076699 × 0.999950292882853 × 6371000     		do = 4886.2503965056m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01150486-0.01227185) × cos(-0.01073766) × R
    0.00076699 × 0.999942351882755 × 6371000     		du = 4886.2115928619m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.00997071)-sin(-0.01073766))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999950292882853-0.999942351882755)×R²
    abs(0.01227185-0.01150486)×7.94100009804399e-06×R²
    0.00076699×7.94100009804399e-06×6371000²
    0.00076699×7.94100009804399e-06×40589641000000     		ar = 23875290.9321171m²