Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4111 / 4111
↖ ↑ ↗
← S  0.659165°
E  0.659180°		 ← 4 886.17 m → S  0.659165°
E  0.703125°		 →
↑
4 886.17 m
↓
↑
4 886.17 m
↓
S  0.703107°
E  0.659180°		 ← 4 886.13 m →
23 874 572 m²		 S  0.703107°
E  0.703125°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4111 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4111 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.50189208984375 y=0.50189208984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.50189208984375 × 213)
    floor (0.50189208984375 × 8192)
    floor (4111.5)     		tx = 4111
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.50189208984375 × 213)
    floor (0.50189208984375 × 8192)
    floor (4111.5)     		ty = 4111
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4111 / 4111 ti = "13/4111/4111"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4111/4111.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4111 ÷ 213
    4111 ÷ 8192     		x = 0.5018310546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4111 ÷ 213
    4111 ÷ 8192     		y = 0.5018310546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5018310546875 × 2 - 1) × π
    0.003662109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.01150486
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5018310546875 × 2 - 1) × π
    -0.003662109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.0115048559088135
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01150486} λ = 0.01150486}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0115048559088135))-π/2
    2×atan(0.988561071873836)-π/2
    2×0.779645862339042-π/2
    1.55929172467808-1.57079632675     		φ = -0.01150460
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01150486} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.659180°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.01150460 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.659165°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4111 KachelY 4111 0.01150486 -0.01150460 0.659180 -0.659165
    Oben rechts KachelX + 1 4112 KachelY 4111 0.01227185 -0.01150460 0.703125 -0.659165
    Unten links KachelX 4111 KachelY + 1 4112 0.01150486 -0.01227154 0.659180 -0.703107
    Unten rechts KachelX + 1 4112 KachelY + 1 4112 0.01227185 -0.01227154 0.703125 -0.703107
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.01150460--0.01227154) × R
    0.000766939999999999 × 6371000     		dl = 4886.17473999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.01150460--0.01227154) × R
    0.000766939999999999 × 6371000     		dr = 4886.17473999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01150486-0.01227185) × cos(-0.01150460) × R
    0.00076699 × 0.999933822819336 × 6371000     		do = 4886.16991565074m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01150486-0.01227185) × cos(-0.01227154) × R
    0.00076699 × 0.999924705597908 × 6371000     		du = 4886.1253644094m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.01150460)-sin(-0.01227154))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999933822819336-0.999924705597908)×R²
    abs(0.01227185-0.01150486)×9.11722142837856e-06×R²
    0.00076699×9.11722142837856e-06×6371000²
    0.00076699×9.11722142837856e-06×40589641000000     		ar = 23874572.3448714m²