Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4111 / 4113
↖ ↑ ↗
← S  0.747049°
E  0.659180°		 ← 4 886.08 m → S  0.747049°
E  0.703125°		 →
↑
4 886.05 m
↓
↑
4 886.05 m
↓
S  0.790991°
E  0.659180°		 ← 4 886.03 m →
23 873 486 m²		 S  0.790991°
E  0.703125°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4111 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4113 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.50189208984375 y=0.50213623046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.50189208984375 × 213)
    floor (0.50189208984375 × 8192)
    floor (4111.5)     		tx = 4111
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.50213623046875 × 213)
    floor (0.50213623046875 × 8192)
    floor (4113.5)     		ty = 4113
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4111 / 4113 ti = "13/4111/4113"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4111/4113.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4111 ÷ 213
    4111 ÷ 8192     		x = 0.5018310546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4113 ÷ 213
    4113 ÷ 8192     		y = 0.5020751953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5018310546875 × 2 - 1) × π
    0.003662109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.01150486
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5020751953125 × 2 - 1) × π
    -0.004150390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.0130388366966553
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01150486} λ = 0.01150486}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0130388366966553))-π/2
    2×atan(0.987045800677557)-π/2
    2×0.77887892977036-π/2
    1.55775785954072-1.57079632675     		φ = -0.01303847
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01150486} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.659180°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.01303847 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.747049°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4111 KachelY 4113 0.01150486 -0.01303847 0.659180 -0.747049
    Oben rechts KachelX + 1 4112 KachelY 4113 0.01227185 -0.01303847 0.703125 -0.747049
    Unten links KachelX 4111 KachelY + 1 4114 0.01150486 -0.01380539 0.659180 -0.790991
    Unten rechts KachelX + 1 4112 KachelY + 1 4114 0.01227185 -0.01380539 0.703125 -0.790991
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.01303847--0.01380539) × R
    0.000766920000000001 × 6371000     		dl = 4886.04732000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.01303847--0.01380539) × R
    0.000766920000000001 × 6371000     		dr = 4886.04732000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01150486-0.01227185) × cos(-0.01303847) × R
    0.00076699 × 0.999915000354213 × 6371000     		do = 4886.07793980121m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01150486-0.01227185) × cos(-0.01380539) × R
    0.00076699 × 0.999904707116968 × 6371000     		du = 4886.02764196648m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.01303847)-sin(-0.01380539))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999915000354213-0.999904707116968)×R²
    abs(0.01227185-0.01150486)×1.02932372454401e-05×R²
    0.00076699×1.02932372454401e-05×6371000²
    0.00076699×1.02932372454401e-05×40589641000000     		ar = 23873486.3144082m²