Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41120 / 8352
↖ ↑ ↗
← N 79.004962°
E 45.878906°		 ← 116.50 m → N 79.004962°
E 45.884400°		 →
↑
116.53 m
↓
↑
116.53 m
↓
N 79.003915°
E 45.878906°		 ← 116.51 m →
13 576 m²		 N 79.003915°
E 45.884400°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41120 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8352 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.627449035644531 y=0.127449035644531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.627449035644531 × 216)
    floor (0.627449035644531 × 65536)
    floor (41120.5)     		tx = 41120
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.127449035644531 × 216)
    floor (0.127449035644531 × 65536)
    floor (8352.5)     		ty = 8352
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41120 / 8352 ti = "16/41120/8352"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41120/8352.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41120 ÷ 216
    41120 ÷ 65536     		x = 0.62744140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8352 ÷ 216
    8352 ÷ 65536     		y = 0.12744140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62744140625 × 2 - 1) × π
    0.2548828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.80073797
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.12744140625 × 2 - 1) × π
    0.7451171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.34085468224658
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.80073797} λ = 0.80073797}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.34085468224658))-π/2
    2×atan(10.3901130140519)-π/2
    2×1.47484652094657-π/2
    2.94969304189314-1.57079632675     		φ = 1.37889672
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.80073797} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.878906°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37889672 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.004962°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41120 KachelY 8352 0.80073797 1.37889672 45.878906 79.004962
    Oben rechts KachelX + 1 41121 KachelY 8352 0.80083385 1.37889672 45.884400 79.004962
    Unten links KachelX 41120 KachelY + 1 8353 0.80073797 1.37887843 45.878906 79.003915
    Unten rechts KachelX + 1 41121 KachelY + 1 8353 0.80083385 1.37887843 45.884400 79.003915
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37889672-1.37887843) × R
    1.82899999998654e-05 × 6371000     		dl = 116.525589999142m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37889672-1.37887843) × R
    1.82899999998654e-05 × 6371000     		dr = 116.525589999142m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.80073797-0.80083385) × cos(1.37889672) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.190723975023126 × 6371000     		do = 116.504022414283m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.80073797-0.80083385) × cos(1.37887843) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.190741929254605 × 6371000     		du = 116.514989783154m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37889672)-sin(1.37887843))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.190723975023126-0.190741929254605)×R²
    abs(0.80083385-0.80073797)×1.79542314790448e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.79542314790448e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.79542314790448e-05×40589641000000     		ar = 13576.3389388743m²