Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 41128 / 8360
↖ ↑ ↗
← N 78.996578°
E 45.922851°		 ← 116.59 m → N 78.996578°
E 45.928345°		 →
↑
116.59 m
↓
↑
116.59 m
↓
N 78.995529°
E 45.922851°		 ← 116.60 m →
13 594 m²		 N 78.995529°
E 45.928345°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41128 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8360 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.627571105957031 y=0.127571105957031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.627571105957031 × 216)
    floor (0.627571105957031 × 65536)
    floor (41128.5)     		tx = 41128
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.127571105957031 × 216)
    floor (0.127571105957031 × 65536)
    floor (8360.5)     		ty = 8360
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41128 / 8360 ti = "16/41128/8360"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41128/8360.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41128 ÷ 216
    41128 ÷ 65536     		x = 0.6275634765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8360 ÷ 216
    8360 ÷ 65536     		y = 0.1275634765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6275634765625 × 2 - 1) × π
    0.255126953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.80150496
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1275634765625 × 2 - 1) × π
    0.744873046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.34008769185266
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.80150496} λ = 0.80150496}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.34008769185266))-π/2
    2×atan(10.3821469525152)-π/2
    2×1.47477335167509-π/2
    2.94954670335018-1.57079632675     		φ = 1.37875038
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.80150496} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.922851°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37875038 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.996578°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41128 KachelY 8360 0.80150496 1.37875038 45.922851 78.996578
    Oben rechts KachelX + 1 41129 KachelY 8360 0.80160084 1.37875038 45.928345 78.996578
    Unten links KachelX 41128 KachelY + 1 8361 0.80150496 1.37873208 45.922851 78.995529
    Unten rechts KachelX + 1 41129 KachelY + 1 8361 0.80160084 1.37873208 45.928345 78.995529
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37875038-1.37873208) × R
    1.83000000000266e-05 × 6371000     		dl = 116.58930000017m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37875038-1.37873208) × R
    1.83000000000266e-05 × 6371000     		dr = 116.58930000017m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.80150496-0.80160084) × cos(1.37875038) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.190867626720321 × 6371000     		do = 116.591772266119m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.80150496-0.80160084) × cos(1.37873208) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.190885590257223 × 6371000     		du = 116.602745319222m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37875038)-sin(1.37873208))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.190867626720321-0.190885590257223)×R²
    abs(0.80160084-0.80150496)×1.79635369020048e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.79635369020048e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.79635369020048e-05×40589641000000     		ar = 13593.9927850686m²