Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 41152 / 41152
↖ ↑ ↗
← S 41.771312°
E 46.054687°		 ← 455.58 m → S 41.771312°
E 46.060181°		 →
↑
455.53 m
↓
↑
455.53 m
↓
S 41.775408°
E 46.054687°		 ← 455.55 m →
207 522 m²		 S 41.775408°
E 46.060181°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41152 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41152 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.627937316894531 y=0.627937316894531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.627937316894531 × 216)
    floor (0.627937316894531 × 65536)
    floor (41152.5)     		tx = 41152
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.627937316894531 × 216)
    floor (0.627937316894531 × 65536)
    floor (41152.5)     		ty = 41152
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41152 / 41152 ti = "16/41152/41152"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41152/41152.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41152 ÷ 216
    41152 ÷ 65536     		x = 0.6279296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41152 ÷ 216
    41152 ÷ 65536     		y = 0.6279296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6279296875 × 2 - 1) × π
    0.255859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.80380593
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6279296875 × 2 - 1) × π
    -0.255859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.803805932829102
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.80380593} λ = 0.80380593}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.803805932829102))-π/2
    2×atan(0.447622098430045)-π/2
    2×0.420874702561693-π/2
    0.841749405123385-1.57079632675     		φ = -0.72904692
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.80380593} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.054687°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72904692 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.771312°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41152 KachelY 41152 0.80380593 -0.72904692 46.054687 -41.771312
    Oben rechts KachelX + 1 41153 KachelY 41152 0.80390181 -0.72904692 46.060181 -41.771312
    Unten links KachelX 41152 KachelY + 1 41153 0.80380593 -0.72911842 46.054687 -41.775408
    Unten rechts KachelX + 1 41153 KachelY + 1 41153 0.80390181 -0.72911842 46.060181 -41.775408
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72904692--0.72911842) × R
    7.15000000000021e-05 × 6371000     		dl = 455.526500000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72904692--0.72911842) × R
    7.15000000000021e-05 × 6371000     		dr = 455.526500000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.80380593-0.80390181) × cos(-0.72904692) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.745809643916539 × 6371000     		do = 455.578924784919m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.80380593-0.80390181) × cos(-0.72911842) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.745762011633016 × 6371000     		du = 455.549828534034m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72904692)-sin(-0.72911842))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.745809643916539-0.745762011633016)×R²
    abs(0.80390181-0.80380593)×4.76322835231135e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.76322835231135e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.76322835231135e-05×40589641000000     		ar = 207521.646112839m²