Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41153 / 8129
↖ ↑ ↗
← N 79.236159°
E 46.060181°		 ← 114.07 m → N 79.236159°
E 46.065674°		 →
↑
114.04 m
↓
↑
114.04 m
↓
N 79.235133°
E 46.060181°		 ← 114.08 m →
13 009 m²		 N 79.235133°
E 46.065674°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41153 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8129 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.627952575683594 y=0.124046325683594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.627952575683594 × 216)
    floor (0.627952575683594 × 65536)
    floor (41153.5)     		tx = 41153
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.124046325683594 × 216)
    floor (0.124046325683594 × 65536)
    floor (8129.5)     		ty = 8129
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41153 / 8129 ti = "16/41153/8129"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41153/8129.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41153 ÷ 216
    41153 ÷ 65536     		x = 0.627944946289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8129 ÷ 216
    8129 ÷ 65536     		y = 0.124038696289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.627944946289062 × 2 - 1) × π
    0.255889892578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.80390181
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.124038696289062 × 2 - 1) × π
    0.751922607421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.36223453947713
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.80390181} λ = 0.80390181}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.36223453947713))-π/2
    2×atan(10.6146438124531)-π/2
    2×1.4768640952363-π/2
    2.95372819047261-1.57079632675     		φ = 1.38293186
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.80390181} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.060181°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38293186 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.236159°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41153 KachelY 8129 0.80390181 1.38293186 46.060181 79.236159
    Oben rechts KachelX + 1 41154 KachelY 8129 0.80399768 1.38293186 46.065674 79.236159
    Unten links KachelX 41153 KachelY + 1 8130 0.80390181 1.38291396 46.060181 79.235133
    Unten rechts KachelX + 1 41154 KachelY + 1 8130 0.80399768 1.38291396 46.065674 79.235133
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38293186-1.38291396) × R
    1.79000000000151e-05 × 6371000     		dl = 114.040900000096m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38293186-1.38291396) × R
    1.79000000000151e-05 × 6371000     		dr = 114.040900000096m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.80390181-0.80399768) × cos(1.38293186) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.186761363273302 × 6371000     		do = 114.071556595857m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.80390181-0.80399768) × cos(1.38291396) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.18677894829843 × 6371000     		du = 114.082297314141m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38293186)-sin(1.38291396))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.186761363273302-0.18677894829843)×R²
    abs(0.80399768-0.80390181)×1.75850251286358e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.75850251286358e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.75850251286358e-05×40589641000000     		ar = 13009.4354195101m²