Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 41154 / 8130
↖ ↑ ↗
← N 79.235133°
E 46.065674°		 ← 114.08 m → N 79.235133°
E 46.071167°		 →
↑
114.10 m
↓
↑
114.10 m
↓
N 79.234107°
E 46.065674°		 ← 114.09 m →
13 018 m²		 N 79.234107°
E 46.071167°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41154 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8130 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.627967834472656 y=0.124061584472656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.627967834472656 × 216)
    floor (0.627967834472656 × 65536)
    floor (41154.5)     		tx = 41154
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.124061584472656 × 216)
    floor (0.124061584472656 × 65536)
    floor (8130.5)     		ty = 8130
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41154 / 8130 ti = "16/41154/8130"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41154/8130.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41154 ÷ 216
    41154 ÷ 65536     		x = 0.627960205078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8130 ÷ 216
    8130 ÷ 65536     		y = 0.124053955078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.627960205078125 × 2 - 1) × π
    0.25592041015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.80399768
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.124053955078125 × 2 - 1) × π
    0.75189208984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.36213866567789
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.80399768} λ = 0.80399768}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.36213866567789))-π/2
    2×atan(10.6136261950055)-π/2
    2×1.47685514205412-π/2
    2.95371028410824-1.57079632675     		φ = 1.38291396
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.80399768} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.065674°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38291396 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.235133°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41154 KachelY 8130 0.80399768 1.38291396 46.065674 79.235133
    Oben rechts KachelX + 1 41155 KachelY 8130 0.80409355 1.38291396 46.071167 79.235133
    Unten links KachelX 41154 KachelY + 1 8131 0.80399768 1.38289605 46.065674 79.234107
    Unten rechts KachelX + 1 41155 KachelY + 1 8131 0.80409355 1.38289605 46.071167 79.234107
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38291396-1.38289605) × R
    1.79099999999544e-05 × 6371000     		dl = 114.104609999709m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38291396-1.38289605) × R
    1.79099999999544e-05 × 6371000     		dr = 114.104609999709m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.80399768-0.80409355) × cos(1.38291396) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.18677894829843 × 6371000     		do = 114.082297314141m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.80399768-0.80409355) × cos(1.38289605) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.186796543087699 × 6371000     		du = 114.093043996242m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38291396)-sin(1.38289605))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.18677894829843-0.186796543087699)×R²
    abs(0.80409355-0.80399768)×1.75947892689376e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.75947892689376e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.75947892689376e-05×40589641000000     		ar = 13017.929166143m²