Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4116 / 4117
↖ ↑ ↗
← S  0.922812°
E  0.878906°		 ← 4 885.86 m → S  0.922812°
E  0.922852°		 →
↑
4 885.86 m
↓
↑
4 885.86 m
↓
S  0.966751°
E  0.878906°		 ← 4 885.80 m →
23 871 457 m²		 S  0.966751°
E  0.922852°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4116 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4117 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.50250244140625 y=0.50262451171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.50250244140625 × 213)
    floor (0.50250244140625 × 8192)
    floor (4116.5)     		tx = 4116
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.50262451171875 × 213)
    floor (0.50262451171875 × 8192)
    floor (4117.5)     		ty = 4117
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4116 / 4117 ti = "13/4116/4117"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4116/4117.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4116 ÷ 213
    4116 ÷ 8192     		x = 0.50244140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4117 ÷ 213
    4117 ÷ 8192     		y = 0.5025634765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50244140625 × 2 - 1) × π
    0.0048828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.01533981
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5025634765625 × 2 - 1) × π
    -0.005126953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.0161067982723389
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01533981} λ = 0.01533981}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0161067982723389))-π/2
    2×atan(0.984022222569957)-π/2
    2×0.777345112452844-π/2
    1.55469022490569-1.57079632675     		φ = -0.01610610
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01533981} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.878906°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.01610610 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.922812°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4116 KachelY 4117 0.01533981 -0.01610610 0.878906 -0.922812
    Oben rechts KachelX + 1 4117 KachelY 4117 0.01610680 -0.01610610 0.922852 -0.922812
    Unten links KachelX 4116 KachelY + 1 4118 0.01533981 -0.01687299 0.878906 -0.966751
    Unten rechts KachelX + 1 4117 KachelY + 1 4118 0.01610680 -0.01687299 0.922852 -0.966751
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.01610610--0.01687299) × R
    0.000766889999999999 × 6371000     		dl = 4885.85618999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.01610610--0.01687299) × R
    0.000766889999999999 × 6371000     		dr = 4885.85618999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01533981-0.01610680) × cos(-0.01610610) × R
    0.00076699 × 0.999870299575192 × 6371000     		do = 4885.85950974447m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01533981-0.01610680) × cos(-0.01687299) × R
    0.00076699 × 0.999857654481399 × 6371000     		du = 4885.7977195785m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.01610610)-sin(-0.01687299))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999870299575192-0.999857654481399)×R²
    abs(0.01610680-0.01533981)×1.26450937927292e-05×R²
    0.00076699×1.26450937927292e-05×6371000²
    0.00076699×1.26450937927292e-05×40589641000000     		ar = 23871457.1501636m²