Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41168 / 8144
↖ ↑ ↗
← N 79.220760°
E 46.142578°		 ← 114.24 m → N 79.220760°
E 46.148071°		 →
↑
114.23 m
↓
↑
114.23 m
↓
N 79.219732°
E 46.142578°		 ← 114.26 m →
13 051 m²		 N 79.219732°
E 46.148071°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41168 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8144 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.628181457519531 y=0.124275207519531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.628181457519531 × 216)
    floor (0.628181457519531 × 65536)
    floor (41168.5)     		tx = 41168
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.124275207519531 × 216)
    floor (0.124275207519531 × 65536)
    floor (8144.5)     		ty = 8144
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41168 / 8144 ti = "16/41168/8144"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41168/8144.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41168 ÷ 216
    41168 ÷ 65536     		x = 0.628173828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8144 ÷ 216
    8144 ÷ 65536     		y = 0.124267578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.628173828125 × 2 - 1) × π
    0.25634765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.80533991
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.124267578125 × 2 - 1) × π
    0.75146484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.36079643248853
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.80533991} λ = 0.80533991}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.36079643248853))-π/2
    2×atan(10.599389790092)-π/2
    2×1.47672970892125-π/2
    2.9534594178425-1.57079632675     		φ = 1.38266309
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.80533991} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.142578°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38266309 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.220760°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41168 KachelY 8144 0.80533991 1.38266309 46.142578 79.220760
    Oben rechts KachelX + 1 41169 KachelY 8144 0.80543579 1.38266309 46.148071 79.220760
    Unten links KachelX 41168 KachelY + 1 8145 0.80533991 1.38264516 46.142578 79.219732
    Unten rechts KachelX + 1 41169 KachelY + 1 8145 0.80543579 1.38264516 46.148071 79.219732
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38266309-1.38264516) × R
    1.79300000000548e-05 × 6371000     		dl = 114.232030000349m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38266309-1.38264516) × R
    1.79300000000548e-05 × 6371000     		dr = 114.232030000349m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.80533991-0.80543579) × cos(1.38266309) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.187025397599732 × 6371000     		do = 114.24474092131m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.80533991-0.80543579) × cos(1.38264516) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.187043011196229 × 6371000     		du = 114.255500212798m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38266309)-sin(1.38264516))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.187025397599732-0.187043011196229)×R²
    abs(0.80543579-0.80533991)×1.76135964973234e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.76135964973234e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.76135964973234e-05×40589641000000     		ar = 13051.023200504m²