Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 41184 / 8416
↖ ↑ ↗
← N 78.937709°
E 46.230468°		 ← 117.21 m → N 78.937709°
E 46.235962°		 →
↑
117.23 m
↓
↑
117.23 m
↓
N 78.936654°
E 46.230468°		 ← 117.22 m →
13 740 m²		 N 78.936654°
E 46.235962°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41184 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8416 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.628425598144531 y=0.128425598144531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.628425598144531 × 216)
    floor (0.628425598144531 × 65536)
    floor (41184.5)     		tx = 41184
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.128425598144531 × 216)
    floor (0.128425598144531 × 65536)
    floor (8416.5)     		ty = 8416
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41184 / 8416 ti = "16/41184/8416"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41184/8416.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41184 ÷ 216
    41184 ÷ 65536     		x = 0.62841796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8416 ÷ 216
    8416 ÷ 65536     		y = 0.12841796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62841796875 × 2 - 1) × π
    0.2568359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.80687389
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.12841796875 × 2 - 1) × π
    0.7431640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.33471875909521
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.80687389} λ = 0.80687389}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.33471875909521))-π/2
    2×atan(10.3265552711865)-π/2
    2×1.47425962148049-π/2
    2.94851924296098-1.57079632675     		φ = 1.37772292
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.80687389} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.230468°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37772292 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.937709°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41184 KachelY 8416 0.80687389 1.37772292 46.230468 78.937709
    Oben rechts KachelX + 1 41185 KachelY 8416 0.80696977 1.37772292 46.235962 78.937709
    Unten links KachelX 41184 KachelY + 1 8417 0.80687389 1.37770452 46.230468 78.936654
    Unten rechts KachelX + 1 41185 KachelY + 1 8417 0.80696977 1.37770452 46.235962 78.936654
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37772292-1.37770452) × R
    1.8400000000085e-05 × 6371000     		dl = 117.226400000542m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37772292-1.37770452) × R
    1.8400000000085e-05 × 6371000     		dr = 117.226400000542m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.80687389-0.80696977) × cos(1.37772292) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.19187609675018 × 6371000     		do = 117.207797676529m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.80687389-0.80696977) × cos(1.37770452) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.191894154830204 × 6371000     		du = 117.218828481438m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37772292)-sin(1.37770452))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.19187609675018-0.191894154830204)×R²
    abs(0.80696977-0.80687389)×1.80580800236696e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.80580800236696e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.80580800236696e-05×40589641000000     		ar = 13740.4947247349m²