Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41200 / 8496
↖ ↑ ↗
← N 78.853070°
E 46.318360°		 ← 118.08 m → N 78.853070°
E 46.323853°		 →
↑
118.05 m
↓
↑
118.05 m
↓
N 78.852008°
E 46.318360°		 ← 118.09 m →
13 941 m²		 N 78.852008°
E 46.323853°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41200 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8496 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.628669738769531 y=0.129646301269531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.628669738769531 × 216)
    floor (0.628669738769531 × 65536)
    floor (41200.5)     		tx = 41200
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.129646301269531 × 216)
    floor (0.129646301269531 × 65536)
    floor (8496.5)     		ty = 8496
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41200 / 8496 ti = "16/41200/8496"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41200/8496.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41200 ÷ 216
    41200 ÷ 65536     		x = 0.628662109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8496 ÷ 216
    8496 ÷ 65536     		y = 0.129638671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.628662109375 × 2 - 1) × π
    0.25732421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.80840788
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.129638671875 × 2 - 1) × π
    0.74072265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.32704885515601
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.80840788} λ = 0.80840788}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.32704885515601))-π/2
    2×atan(10.2476545514975)-π/2
    2×1.47352100969588-π/2
    2.94704201939176-1.57079632675     		φ = 1.37624569
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.80840788} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.318360°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37624569 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.853070°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41200 KachelY 8496 0.80840788 1.37624569 46.318360 78.853070
    Oben rechts KachelX + 1 41201 KachelY 8496 0.80850375 1.37624569 46.323853 78.853070
    Unten links KachelX 41200 KachelY + 1 8497 0.80840788 1.37622716 46.318360 78.852008
    Unten rechts KachelX + 1 41201 KachelY + 1 8497 0.80850375 1.37622716 46.323853 78.852008
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37624569-1.37622716) × R
    1.85299999999611e-05 × 6371000     		dl = 118.054629999752m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37624569-1.37622716) × R
    1.85299999999611e-05 × 6371000     		dr = 118.054629999752m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.80840788-0.80850375) × cos(1.37624569) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.193325668688735 × 6371000     		do = 118.080954062149m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.80840788-0.80850375) × cos(1.37622716) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.193343849080461 × 6371000     		du = 118.092058423069m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37624569)-sin(1.37622716))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.193325668688735-0.193343849080461)×R²
    abs(0.80850375-0.80840788)×1.8180391725825e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.8180391725825e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.8180391725825e-05×40589641000000     		ar = 13940.658803116m²