Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41208 / 8472
↖ ↑ ↗
← N 78.878528°
E 46.362305°		 ← 117.81 m → N 78.878528°
E 46.367798°		 →
↑
117.86 m
↓
↑
117.86 m
↓
N 78.877468°
E 46.362305°		 ← 117.83 m →
13 887 m²		 N 78.877468°
E 46.367798°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41208 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8472 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.628791809082031 y=0.129280090332031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.628791809082031 × 216)
    floor (0.628791809082031 × 65536)
    floor (41208.5)     		tx = 41208
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.129280090332031 × 216)
    floor (0.129280090332031 × 65536)
    floor (8472.5)     		ty = 8472
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41208 / 8472 ti = "16/41208/8472"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41208/8472.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41208 ÷ 216
    41208 ÷ 65536     		x = 0.6287841796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8472 ÷ 216
    8472 ÷ 65536     		y = 0.1292724609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6287841796875 × 2 - 1) × π
    0.257568359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.80917487
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1292724609375 × 2 - 1) × π
    0.741455078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.32934982633777
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.80917487} λ = 0.80917487}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.32934982633777))-π/2
    2×atan(10.2712612580615)-π/2
    2×1.47374317720891-π/2
    2.94748635441782-1.57079632675     		φ = 1.37669003
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.80917487} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.362305°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37669003 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.878528°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41208 KachelY 8472 0.80917487 1.37669003 46.362305 78.878528
    Oben rechts KachelX + 1 41209 KachelY 8472 0.80927074 1.37669003 46.367798 78.878528
    Unten links KachelX 41208 KachelY + 1 8473 0.80917487 1.37667153 46.362305 78.877468
    Unten rechts KachelX + 1 41209 KachelY + 1 8473 0.80927074 1.37667153 46.367798 78.877468
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37669003-1.37667153) × R
    1.84999999999214e-05 × 6371000     		dl = 117.863499999499m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37669003-1.37667153) × R
    1.84999999999214e-05 × 6371000     		dr = 117.863499999499m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.80917487-0.80927074) × cos(1.37669003) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.192889692251314 × 6371000     		do = 117.814664986164m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.80917487-0.80927074) × cos(1.37667153) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.192907844796583 × 6371000     		du = 117.825752338809m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37669003)-sin(1.37667153))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.192889692251314-0.192907844796583)×R²
    abs(0.80927074-0.80917487)×1.8152545269684e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.8152545269684e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.8152545269684e-05×40589641000000     		ar = 13886.7021638407m²