Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41216 / 8448
↖ ↑ ↗
← N 78.903929°
E 46.406250°		 ← 117.55 m → N 78.903929°
E 46.411743°		 →
↑
117.54 m
↓
↑
117.54 m
↓
N 78.902872°
E 46.406250°		 ← 117.56 m →
13 818 m²		 N 78.902872°
E 46.411743°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41216 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8448 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.628913879394531 y=0.128913879394531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.628913879394531 × 216)
    floor (0.628913879394531 × 65536)
    floor (41216.5)     		tx = 41216
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.128913879394531 × 216)
    floor (0.128913879394531 × 65536)
    floor (8448.5)     		ty = 8448
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41216 / 8448 ti = "16/41216/8448"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41216/8448.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41216 ÷ 216
    41216 ÷ 65536     		x = 0.62890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8448 ÷ 216
    8448 ÷ 65536     		y = 0.12890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62890625 × 2 - 1) × π
    0.2578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.80994186
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.12890625 × 2 - 1) × π
    0.7421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.33165079751953
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.80994186} λ = 0.80994186}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.33165079751953))-π/2
    2×atan(10.2949223455174)-π/2
    2×1.47396484368687-π/2
    2.94792968737375-1.57079632675     		φ = 1.37713336
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.80994186} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.406250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37713336 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.903929°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41216 KachelY 8448 0.80994186 1.37713336 46.406250 78.903929
    Oben rechts KachelX + 1 41217 KachelY 8448 0.81003773 1.37713336 46.411743 78.903929
    Unten links KachelX 41216 KachelY + 1 8449 0.80994186 1.37711491 46.406250 78.902872
    Unten rechts KachelX + 1 41217 KachelY + 1 8449 0.81003773 1.37711491 46.411743 78.902872
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37713336-1.37711491) × R
    1.84500000000032e-05 × 6371000     		dl = 117.54495000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37713336-1.37711491) × R
    1.84500000000032e-05 × 6371000     		dr = 117.54495000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.80994186-0.81003773) × cos(1.37713336) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.192454668849152 × 6371000     		do = 117.54895801246m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.80994186-0.81003773) × cos(1.37711491) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.192472773909602 × 6371000     		du = 117.560016361958m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37713336)-sin(1.37711491))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.192454668849152-0.192472773909602)×R²
    abs(0.81003773-0.80994186)×1.81050604498856e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.81050604498856e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.81050604498856e-05×40589641000000     		ar = 13817.9363193822m²