Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41217 / 8449
↖ ↑ ↗
← N 78.902872°
E 46.411743°		 ← 117.56 m → N 78.902872°
E 46.417236°		 →
↑
117.61 m
↓
↑
117.61 m
↓
N 78.901815°
E 46.411743°		 ← 117.57 m →
13 827 m²		 N 78.901815°
E 46.417236°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41217 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8449 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.628929138183594 y=0.128929138183594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.628929138183594 × 216)
    floor (0.628929138183594 × 65536)
    floor (41217.5)     		tx = 41217
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.128929138183594 × 216)
    floor (0.128929138183594 × 65536)
    floor (8449.5)     		ty = 8449
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41217 / 8449 ti = "16/41217/8449"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41217/8449.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41217 ÷ 216
    41217 ÷ 65536     		x = 0.628921508789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8449 ÷ 216
    8449 ÷ 65536     		y = 0.128921508789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.628921508789062 × 2 - 1) × π
    0.257843017578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.81003773
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.128921508789062 × 2 - 1) × π
    0.742156982421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.33155492372029
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81003773} λ = 0.81003773}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.33155492372029))-π/2
    2×atan(10.2939353795121)-π/2
    2×1.47395561757276-π/2
    2.94791123514553-1.57079632675     		φ = 1.37711491
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81003773} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.411743°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37711491 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.902872°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41217 KachelY 8449 0.81003773 1.37711491 46.411743 78.902872
    Oben rechts KachelX + 1 41218 KachelY 8449 0.81013360 1.37711491 46.417236 78.902872
    Unten links KachelX 41217 KachelY + 1 8450 0.81003773 1.37709645 46.411743 78.901815
    Unten rechts KachelX + 1 41218 KachelY + 1 8450 0.81013360 1.37709645 46.417236 78.901815
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37711491-1.37709645) × R
    1.84599999999424e-05 × 6371000     		dl = 117.608659999633m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37711491-1.37709645) × R
    1.84599999999424e-05 × 6371000     		dr = 117.608659999633m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81003773-0.81013360) × cos(1.37711491) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.192472773909602 × 6371000     		do = 117.560016361958m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81003773-0.81013360) × cos(1.37709645) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.192490888717522 × 6371000     		du = 117.571080665091m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37711491)-sin(1.37709645))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.192472773909602-0.192490888717522)×R²
    abs(0.81013360-0.81003773)×1.8114807919245e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.8114807919245e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.8114807919245e-05×40589641000000     		ar = 13826.7266230421m²