Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41218 / 8450
↖ ↑ ↗
← N 78.901815°
E 46.417236°		 ← 117.58 m → N 78.901815°
E 46.422730°		 →
↑
117.54 m
↓
↑
117.54 m
↓
N 78.900757°
E 46.417236°		 ← 117.59 m →
13 822 m²		 N 78.900757°
E 46.422730°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41218 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8450 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.628944396972656 y=0.128944396972656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.628944396972656 × 216)
    floor (0.628944396972656 × 65536)
    floor (41218.5)     		tx = 41218
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.128944396972656 × 216)
    floor (0.128944396972656 × 65536)
    floor (8450.5)     		ty = 8450
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41218 / 8450 ti = "16/41218/8450"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41218/8450.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41218 ÷ 216
    41218 ÷ 65536     		x = 0.628936767578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8450 ÷ 216
    8450 ÷ 65536     		y = 0.128936767578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.628936767578125 × 2 - 1) × π
    0.25787353515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.81013360
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.128936767578125 × 2 - 1) × π
    0.74212646484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.33145904992105
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81013360} λ = 0.81013360}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.33145904992105))-π/2
    2×atan(10.2929485081264)-π/2
    2×1.47394639059061-π/2
    2.94789278118122-1.57079632675     		φ = 1.37709645
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81013360} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.417236°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37709645 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.901815°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41218 KachelY 8450 0.81013360 1.37709645 46.417236 78.901815
    Oben rechts KachelX + 1 41219 KachelY 8450 0.81022948 1.37709645 46.422730 78.901815
    Unten links KachelX 41218 KachelY + 1 8451 0.81013360 1.37707800 46.417236 78.900757
    Unten rechts KachelX + 1 41219 KachelY + 1 8451 0.81022948 1.37707800 46.422730 78.900757
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37709645-1.37707800) × R
    1.84500000000032e-05 × 6371000     		dl = 117.54495000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37709645-1.37707800) × R
    1.84500000000032e-05 × 6371000     		dr = 117.54495000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81013360-0.81022948) × cos(1.37709645) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.192490888717522 × 6371000     		do = 117.583344259536m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81013360-0.81022948) × cos(1.37707800) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.192508993646893 × 6371000     		du = 117.594403682438m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37709645)-sin(1.37707800))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.192490888717522-0.192508993646893)×R²
    abs(0.81022948-0.81013360)×1.81049293717928e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.81049293717928e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.81049293717928e-05×40589641000000     		ar = 13821.9783120755m²