Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41219 / 8451
↖ ↑ ↗
← N 78.900757°
E 46.422730°		 ← 117.58 m → N 78.900757°
E 46.428223°		 →
↑
117.61 m
↓
↑
117.61 m
↓
N 78.899700°
E 46.422730°		 ← 117.59 m →
13 829 m²		 N 78.899700°
E 46.428223°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41219 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8451 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.628959655761719 y=0.128959655761719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.628959655761719 × 216)
    floor (0.628959655761719 × 65536)
    floor (41219.5)     		tx = 41219
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.128959655761719 × 216)
    floor (0.128959655761719 × 65536)
    floor (8451.5)     		ty = 8451
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41219 / 8451 ti = "16/41219/8451"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41219/8451.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41219 ÷ 216
    41219 ÷ 65536     		x = 0.628952026367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8451 ÷ 216
    8451 ÷ 65536     		y = 0.128952026367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.628952026367188 × 2 - 1) × π
    0.257904052734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.81022948
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.128952026367188 × 2 - 1) × π
    0.742095947265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.33136317612181
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81022948} λ = 0.81022948}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.33136317612181))-π/2
    2×atan(10.2919617313514)-π/2
    2×1.47393716274033-π/2
    2.94787432548066-1.57079632675     		φ = 1.37707800
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81022948} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.422730°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37707800 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.900757°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41219 KachelY 8451 0.81022948 1.37707800 46.422730 78.900757
    Oben rechts KachelX + 1 41220 KachelY 8451 0.81032535 1.37707800 46.428223 78.900757
    Unten links KachelX 41219 KachelY + 1 8452 0.81022948 1.37705954 46.422730 78.899700
    Unten rechts KachelX + 1 41220 KachelY + 1 8452 0.81032535 1.37705954 46.428223 78.899700
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37707800-1.37705954) × R
    1.84599999999424e-05 × 6371000     		dl = 117.608659999633m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37707800-1.37705954) × R
    1.84599999999424e-05 × 6371000     		dr = 117.608659999633m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81022948-0.81032535) × cos(1.37707800) × R
    9.58700000001089e-05 × 0.192508993646893 × 6371000     		do = 117.582138934664m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81022948-0.81032535) × cos(1.37705954) × R
    9.58700000001089e-05 × 0.192527108323651 × 6371000     		du = 117.593203157685m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37707800)-sin(1.37705954))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.192508993646893-0.192527108323651)×R²
    abs(0.81032535-0.81022948)×1.81146767577467e-05×R²
    9.58700000001089e-05×1.81146767577467e-05×6371000²
    9.58700000001089e-05×1.81146767577467e-05×40589641000000     		ar = 13829.3284245542m²