Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4122 / 4122
↖ ↑ ↗
← S  1.142502°
E  1.142578°		 ← 4 885.52 m → S  1.142502°
E  1.186523°		 →
↑
4 885.47 m
↓
↑
4 885.47 m
↓
S  1.186439°
E  1.142578°		 ← 4 885.45 m →
23 867 905 m²		 S  1.186439°
E  1.186523°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4122 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4122 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.50323486328125 y=0.50323486328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.50323486328125 × 213)
    floor (0.50323486328125 × 8192)
    floor (4122.5)     		tx = 4122
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.50323486328125 × 213)
    floor (0.50323486328125 × 8192)
    floor (4122.5)     		ty = 4122
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4122 / 4122 ti = "13/4122/4122"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4122/4122.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4122 ÷ 213
    4122 ÷ 8192     		x = 0.503173828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4122 ÷ 213
    4122 ÷ 8192     		y = 0.503173828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.503173828125 × 2 - 1) × π
    0.00634765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.01994175
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.503173828125 × 2 - 1) × π
    -0.00634765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.0199417502419434
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01994175} λ = 0.01994175}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0199417502419434))-π/2
    2×atan(0.980255771305279)-π/2
    2×0.775427949069422-π/2
    1.55085589813884-1.57079632675     		φ = -0.01994043
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01994175} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.142578°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.01994043 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.142502°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4122 KachelY 4122 0.01994175 -0.01994043 1.142578 -1.142502
    Oben rechts KachelX + 1 4123 KachelY 4122 0.02070874 -0.01994043 1.186523 -1.142502
    Unten links KachelX 4122 KachelY + 1 4123 0.01994175 -0.02070726 1.142578 -1.186439
    Unten rechts KachelX + 1 4123 KachelY + 1 4123 0.02070874 -0.02070726 1.186523 -1.186439
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.01994043--0.02070726) × R
    0.000766830000000003 × 6371000     		dl = 4885.47393000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.01994043--0.02070726) × R
    0.000766830000000003 × 6371000     		dr = 4885.47393000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01994175-0.02070874) × cos(-0.01994043) × R
    0.000766989999999999 × 0.999801196213214 × 6371000     		do = 4885.52183662984m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01994175-0.02070874) × cos(-0.02070726) × R
    0.000766989999999999 × 0.999785612352428 × 6371000     		du = 4885.44568619867m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.01994043)-sin(-0.02070726))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999801196213214-0.999785612352428)×R²
    abs(0.02070874-0.01994175)×1.55838607862613e-05×R²
    0.000766989999999999×1.55838607862613e-05×6371000²
    0.000766989999999999×1.55838607862613e-05×40589641000000     		ar = 23867904.7214113m²