Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41220 / 8444
↖ ↑ ↗
← N 78.908157°
E 46.428223°		 ← 117.50 m → N 78.908157°
E 46.433716°		 →
↑
117.48 m
↓
↑
117.48 m
↓
N 78.907101°
E 46.428223°		 ← 117.52 m →
13 805 m²		 N 78.907101°
E 46.433716°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41220 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8444 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.628974914550781 y=0.128852844238281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.628974914550781 × 216)
    floor (0.628974914550781 × 65536)
    floor (41220.5)     		tx = 41220
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.128852844238281 × 216)
    floor (0.128852844238281 × 65536)
    floor (8444.5)     		ty = 8444
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41220 / 8444 ti = "16/41220/8444"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41220/8444.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41220 ÷ 216
    41220 ÷ 65536     		x = 0.62896728515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8444 ÷ 216
    8444 ÷ 65536     		y = 0.12884521484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62896728515625 × 2 - 1) × π
    0.2579345703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.81032535
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.12884521484375 × 2 - 1) × π
    0.7423095703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.33203429271649
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81032535} λ = 0.81032535}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.33203429271649))-π/2
    2×atan(10.2988711559165)-π/2
    2×1.47400173946444-π/2
    2.94800347892889-1.57079632675     		φ = 1.37720715
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81032535} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.428223°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37720715 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.908157°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41220 KachelY 8444 0.81032535 1.37720715 46.428223 78.908157
    Oben rechts KachelX + 1 41221 KachelY 8444 0.81042122 1.37720715 46.433716 78.908157
    Unten links KachelX 41220 KachelY + 1 8445 0.81032535 1.37718871 46.428223 78.907101
    Unten rechts KachelX + 1 41221 KachelY + 1 8445 0.81042122 1.37718871 46.433716 78.907101
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37720715-1.37718871) × R
    1.8440000000064e-05 × 6371000     		dl = 117.481240000407m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37720715-1.37718871) × R
    1.8440000000064e-05 × 6371000     		dr = 117.481240000407m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81032535-0.81042122) × cos(1.37720715) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.192382257765495 × 6371000     		do = 117.504730208149m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81032535-0.81042122) × cos(1.37718871) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.192400353274755 × 6371000     		du = 117.515782723897m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37720715)-sin(1.37718871))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.192382257765495-0.192400353274755)×R²
    abs(0.81042122-0.81032535)×1.80955092605461e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.80955092605461e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.80955092605461e-05×40589641000000     		ar = 13805.2506427702m²