Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41224 / 7944
↖ ↑ ↗
← N 79.424309°
E 46.450196°		 ← 112.10 m → N 79.424309°
E 46.455688°		 →
↑
112.13 m
↓
↑
112.13 m
↓
N 79.423300°
E 46.450196°		 ← 112.11 m →
12 570 m²		 N 79.423300°
E 46.455688°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41224 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7944 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629035949707031 y=0.121223449707031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629035949707031 × 216)
    floor (0.629035949707031 × 65536)
    floor (41224.5)     		tx = 41224
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.121223449707031 × 216)
    floor (0.121223449707031 × 65536)
    floor (7944.5)     		ty = 7944
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41224 / 7944 ti = "16/41224/7944"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41224/7944.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41224 ÷ 216
    41224 ÷ 65536     		x = 0.6290283203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7944 ÷ 216
    7944 ÷ 65536     		y = 0.1212158203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6290283203125 × 2 - 1) × π
    0.258056640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.81070885
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1212158203125 × 2 - 1) × π
    0.757568359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.37997119233655
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81070885} λ = 0.81070885}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.37997119233655))-π/2
    2×atan(10.8045916044093)-π/2
    2×1.47850600659664-π/2
    2.95701201319328-1.57079632675     		φ = 1.38621569
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81070885} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.450196°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38621569 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.424309°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41224 KachelY 7944 0.81070885 1.38621569 46.450196 79.424309
    Oben rechts KachelX + 1 41225 KachelY 7944 0.81080472 1.38621569 46.455688 79.424309
    Unten links KachelX 41224 KachelY + 1 7945 0.81070885 1.38619809 46.450196 79.423300
    Unten rechts KachelX + 1 41225 KachelY + 1 7945 0.81080472 1.38619809 46.455688 79.423300
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38621569-1.38619809) × R
    1.7600000000062e-05 × 6371000     		dl = 112.129600000395m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38621569-1.38619809) × R
    1.7600000000062e-05 × 6371000     		dr = 112.129600000395m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81070885-0.81080472) × cos(1.38621569) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.183534310068723 × 6371000     		do = 112.100511965361m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81070885-0.81080472) × cos(1.38619809) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.183551611074457 × 6371000     		du = 112.111079208072m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38621569)-sin(1.38619809))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.183534310068723-0.183551611074457)×R²
    abs(0.81080472-0.81070885)×1.73010057344103e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.73010057344103e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.73010057344103e-05×40589641000000     		ar = 12570.3780172301m²