Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41232 / 8464
↖ ↑ ↗
← N 78.887002°
E 46.494141°		 ← 117.73 m → N 78.887002°
E 46.499634°		 →
↑
117.74 m
↓
↑
117.74 m
↓
N 78.885943°
E 46.494141°		 ← 117.74 m →
13 861 m²		 N 78.885943°
E 46.499634°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41232 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8464 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629158020019531 y=0.129158020019531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629158020019531 × 216)
    floor (0.629158020019531 × 65536)
    floor (41232.5)     		tx = 41232
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.129158020019531 × 216)
    floor (0.129158020019531 × 65536)
    floor (8464.5)     		ty = 8464
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41232 / 8464 ti = "16/41232/8464"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41232/8464.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41232 ÷ 216
    41232 ÷ 65536     		x = 0.629150390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8464 ÷ 216
    8464 ÷ 65536     		y = 0.129150390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.629150390625 × 2 - 1) × π
    0.25830078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.81147584
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.129150390625 × 2 - 1) × π
    0.74169921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.33011681673169
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81147584} λ = 0.81147584}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.33011681673169))-π/2
    2×atan(10.2791422387117)-π/2
    2×1.47381712165177-π/2
    2.94763424330354-1.57079632675     		φ = 1.37683792
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81147584} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.494141°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37683792 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.887002°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41232 KachelY 8464 0.81147584 1.37683792 46.494141 78.887002
    Oben rechts KachelX + 1 41233 KachelY 8464 0.81157171 1.37683792 46.499634 78.887002
    Unten links KachelX 41232 KachelY + 1 8465 0.81147584 1.37681944 46.494141 78.885943
    Unten rechts KachelX + 1 41233 KachelY + 1 8465 0.81157171 1.37681944 46.499634 78.885943
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37683792-1.37681944) × R
    1.84800000000429e-05 × 6371000     		dl = 117.736080000273m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37683792-1.37681944) × R
    1.84800000000429e-05 × 6371000     		dr = 117.736080000273m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81147584-0.81157171) × cos(1.37683792) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.192744577450471 × 6371000     		do = 117.726030640563m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81147584-0.81157171) × cos(1.37681944) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.192762710898398 × 6371000     		du = 117.737106328785m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37683792)-sin(1.37681944))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.192744577450471-0.192762710898398)×R²
    abs(0.81157171-0.81147584)×1.81334479275874e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.81334479275874e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.81334479275874e-05×40589641000000     		ar = 13861.2533663743m²