Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41236 / 8468
↖ ↑ ↗
← N 78.882766°
E 46.516113°		 ← 117.78 m → N 78.882766°
E 46.521607°		 →
↑
117.80 m
↓
↑
117.80 m
↓
N 78.881707°
E 46.516113°		 ← 117.79 m →
13 875 m²		 N 78.881707°
E 46.521607°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41236 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8468 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629219055175781 y=0.129219055175781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629219055175781 × 216)
    floor (0.629219055175781 × 65536)
    floor (41236.5)     		tx = 41236
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.129219055175781 × 216)
    floor (0.129219055175781 × 65536)
    floor (8468.5)     		ty = 8468
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41236 / 8468 ti = "16/41236/8468"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41236/8468.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41236 ÷ 216
    41236 ÷ 65536     		x = 0.62921142578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8468 ÷ 216
    8468 ÷ 65536     		y = 0.12921142578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62921142578125 × 2 - 1) × π
    0.2584228515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.81185933
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.12921142578125 × 2 - 1) × π
    0.7415771484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.32973332153473
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81185933} λ = 0.81185933}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.32973332153473))-π/2
    2×atan(10.275200992807)-π/2
    2×1.47378015638664-π/2
    2.94756031277328-1.57079632675     		φ = 1.37676399
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81185933} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.516113°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37676399 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.882766°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41236 KachelY 8468 0.81185933 1.37676399 46.516113 78.882766
    Oben rechts KachelX + 1 41237 KachelY 8468 0.81195521 1.37676399 46.521607 78.882766
    Unten links KachelX 41236 KachelY + 1 8469 0.81185933 1.37674550 46.516113 78.881707
    Unten rechts KachelX + 1 41237 KachelY + 1 8469 0.81195521 1.37674550 46.521607 78.881707
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37676399-1.37674550) × R
    1.84899999999821e-05 × 6371000     		dl = 117.799789999886m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37676399-1.37674550) × R
    1.84899999999821e-05 × 6371000     		dr = 117.799789999886m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81185933-0.81195521) × cos(1.37676399) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.19281712065952 × 6371000     		do = 117.782623524266m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81185933-0.81195521) × cos(1.37674550) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.192835263656365 × 6371000     		du = 117.79370620074m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37676399)-sin(1.37674550))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.19281712065952-0.192835263656365)×R²
    abs(0.81195521-0.81185933)×1.81429968443281e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.81429968443281e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.81429968443281e-05×40589641000000     		ar = 13875.4210856343m²