Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41248 / 57632
↖ ↑ ↗
← S 79.464560°
E 46.582031°		 ← 111.68 m → S 79.464560°
E 46.587524°		 →
↑
111.68 m
↓
↑
111.68 m
↓
S 79.465564°
E 46.582031°		 ← 111.67 m →
12 472 m²		 S 79.465564°
E 46.587524°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41248 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57632 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629402160644531 y=0.879402160644531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629402160644531 × 216)
    floor (0.629402160644531 × 65536)
    floor (41248.5)     		tx = 41248
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.879402160644531 × 216)
    floor (0.879402160644531 × 65536)
    floor (57632.5)     		ty = 57632
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41248 / 57632 ti = "16/41248/57632"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41248/57632.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41248 ÷ 216
    41248 ÷ 65536     		x = 0.62939453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57632 ÷ 216
    57632 ÷ 65536     		y = 0.87939453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62939453125 × 2 - 1) × π
    0.2587890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.81300982
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.87939453125 × 2 - 1) × π
    -0.7587890625 × 3.1415926535     		Φ = -2.38380614430615
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81300982} λ = 0.81300982}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.38380614430615))-π/2
    2×atan(0.0921989861848328)-π/2
    2×0.0919390600962043-π/2
    0.183878120192409-1.57079632675     		φ = -1.38691821
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81300982} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.582031°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38691821 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.464560°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41248 KachelY 57632 0.81300982 -1.38691821 46.582031 -79.464560
    Oben rechts KachelX + 1 41249 KachelY 57632 0.81310569 -1.38691821 46.587524 -79.464560
    Unten links KachelX 41248 KachelY + 1 57633 0.81300982 -1.38693574 46.582031 -79.465564
    Unten rechts KachelX + 1 41249 KachelY + 1 57633 0.81310569 -1.38693574 46.587524 -79.465564
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38691821--1.38693574) × R
    1.75300000000433e-05 × 6371000     		dl = 111.683630000276m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38691821--1.38693574) × R
    1.75300000000433e-05 × 6371000     		dr = 111.683630000276m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81300982-0.81310569) × cos(-1.38691821) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.182843678328536 × 6371000     		do = 111.678682544881m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81300982-0.81310569) × cos(-1.38693574) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.182826443821208 × 6371000     		du = 111.668155918584m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38691821)-sin(-1.38693574))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.182843678328536-0.182826443821208)×R²
    abs(0.81310569-0.81300982)×1.72345073275737e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.72345073275737e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.72345073275737e-05×40589641000000     		ar = 12472.0928346476m²