Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41248 / 8480
↖ ↑ ↗
← N 78.870049°
E 46.582031°		 ← 117.90 m → N 78.870049°
E 46.587524°		 →
↑
117.93 m
↓
↑
117.93 m
↓
N 78.868988°
E 46.582031°		 ← 117.91 m →
13 905 m²		 N 78.868988°
E 46.587524°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41248 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8480 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629402160644531 y=0.129402160644531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629402160644531 × 216)
    floor (0.629402160644531 × 65536)
    floor (41248.5)     		tx = 41248
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.129402160644531 × 216)
    floor (0.129402160644531 × 65536)
    floor (8480.5)     		ty = 8480
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41248 / 8480 ti = "16/41248/8480"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41248/8480.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41248 ÷ 216
    41248 ÷ 65536     		x = 0.62939453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8480 ÷ 216
    8480 ÷ 65536     		y = 0.12939453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62939453125 × 2 - 1) × π
    0.2587890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.81300982
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.12939453125 × 2 - 1) × π
    0.7412109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.32858283594385
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81300982} λ = 0.81300982}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.32858283594385))-π/2
    2×atan(10.2633863197302)-π/2
    2×1.47366917709551-π/2
    2.94733835419102-1.57079632675     		φ = 1.37654203
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81300982} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.582031°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37654203 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.870049°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41248 KachelY 8480 0.81300982 1.37654203 46.582031 78.870049
    Oben rechts KachelX + 1 41249 KachelY 8480 0.81310569 1.37654203 46.587524 78.870049
    Unten links KachelX 41248 KachelY + 1 8481 0.81300982 1.37652352 46.582031 78.868988
    Unten rechts KachelX + 1 41249 KachelY + 1 8481 0.81310569 1.37652352 46.587524 78.868988
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37654203-1.37652352) × R
    1.85100000000826e-05 × 6371000     		dl = 117.927210000526m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37654203-1.37652352) × R
    1.85100000000826e-05 × 6371000     		dr = 117.927210000526m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81300982-0.81310569) × cos(1.37654203) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.193034910764488 × 6371000     		do = 117.903362677988m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81300982-0.81310569) × cos(1.37652352) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.193053072593285 × 6371000     		du = 117.914455700898m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37654203)-sin(1.37652352))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.193034910764488-0.193053072593285)×R²
    abs(0.81310569-0.81300982)×1.81618287973528e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.81618287973528e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.81618287973528e-05×40589641000000     		ar = 13904.6686950046m²