Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41250 / 8482
↖ ↑ ↗
← N 78.867928°
E 46.593018°		 ← 117.93 m → N 78.867928°
E 46.598511°		 →
↑
117.93 m
↓
↑
117.93 m
↓
N 78.866867°
E 46.593018°		 ← 117.94 m →
13 907 m²		 N 78.866867°
E 46.598511°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41250 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8482 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629432678222656 y=0.129432678222656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629432678222656 × 216)
    floor (0.629432678222656 × 65536)
    floor (41250.5)     		tx = 41250
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.129432678222656 × 216)
    floor (0.129432678222656 × 65536)
    floor (8482.5)     		ty = 8482
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41250 / 8482 ti = "16/41250/8482"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41250/8482.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41250 ÷ 216
    41250 ÷ 65536     		x = 0.629425048828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8482 ÷ 216
    8482 ÷ 65536     		y = 0.129425048828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.629425048828125 × 2 - 1) × π
    0.25885009765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.81320157
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.129425048828125 × 2 - 1) × π
    0.74114990234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.32839108834537
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81320157} λ = 0.81320157}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.32839108834537))-π/2
    2×atan(10.2614185287167)-π/2
    2×1.47365066836392-π/2
    2.94730133672783-1.57079632675     		φ = 1.37650501
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81320157} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.593018°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37650501 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.867928°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41250 KachelY 8482 0.81320157 1.37650501 46.593018 78.867928
    Oben rechts KachelX + 1 41251 KachelY 8482 0.81329744 1.37650501 46.598511 78.867928
    Unten links KachelX 41250 KachelY + 1 8483 0.81320157 1.37648650 46.593018 78.866867
    Unten rechts KachelX + 1 41251 KachelY + 1 8483 0.81329744 1.37648650 46.598511 78.866867
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37650501-1.37648650) × R
    1.85100000000826e-05 × 6371000     		dl = 117.927210000526m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37650501-1.37648650) × R
    1.85100000000826e-05 × 6371000     		dr = 117.927210000526m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81320157-0.81329744) × cos(1.37650501) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.193071234355939 × 6371000     		do = 117.925548683409m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81320157-0.81329744) × cos(1.37648650) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.193089396052442 × 6371000     		du = 117.936641625515m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37650501)-sin(1.37648650))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.193071234355939-0.193089396052442)×R²
    abs(0.81329744-0.81320157)×1.8161696503427e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.8161696503427e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.8161696503427e-05×40589641000000     		ar = 13907.2850241816m²