Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 4127 / 12319
↖ ↑ ↗
← N 40.722283°
W134.659424°		 ← 925.81 m → N 40.722283°
W134.648438°		 →
↑
925.90 m
↓
↑
925.90 m
↓
N 40.713956°
W134.659424°		 ← 925.92 m →
857 257 m²		 N 40.713956°
W134.648438°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4127 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12319 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.125961303710938 y=0.375961303710938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.125961303710938 × 215)
    floor (0.125961303710938 × 32768)
    floor (4127.5)     		tx = 4127
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.375961303710938 × 215)
    floor (0.375961303710938 × 32768)
    floor (12319.5)     		ty = 12319
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4127 / 12319 ti = "15/4127/12319"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4127/12319.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4127 ÷ 215
    4127 ÷ 32768     		x = 0.125946044921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12319 ÷ 215
    12319 ÷ 32768     		y = 0.375946044921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.125946044921875 × 2 - 1) × π
    -0.74810791015625 × 3.1415926535     		Λ = -2.35025031
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.375946044921875 × 2 - 1) × π
    0.24810791015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.779453987822113
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.35025031} λ = -2.35025031}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.779453987822113))-π/2
    2×atan(2.18028148019674)-π/2
    2×1.14076711917338-π/2
    2.28153423834676-1.57079632675     		φ = 0.71073791
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.35025031} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.659424°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.71073791 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 40.722283°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4127 KachelY 12319 -2.35025031 0.71073791 -134.659424 40.722283
    Oben rechts KachelX + 1 4128 KachelY 12319 -2.35005857 0.71073791 -134.648438 40.722283
    Unten links KachelX 4127 KachelY + 1 12320 -2.35025031 0.71059258 -134.659424 40.713956
    Unten rechts KachelX + 1 4128 KachelY + 1 12320 -2.35005857 0.71059258 -134.648438 40.713956
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.71073791-0.71059258) × R
    0.000145329999999944 × 6371000     		dl = 925.89742999964m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.71073791-0.71059258) × R
    0.000145329999999944 × 6371000     		dr = 925.89742999964m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.35025031--2.35005857) × cos(0.71073791) × R
    0.000191739999999996 × 0.757880674907939 × 6371000     		do = 925.808494706209m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.35025031--2.35005857) × cos(0.71059258) × R
    0.000191739999999996 × 0.757975479207299 × 6371000     		du = 925.924305319395m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.71073791)-sin(0.71059258))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.757880674907939-0.757975479207299)×R²
    abs(-2.35005857--2.35025031)×9.48042993605958e-05×R²
    0.000191739999999996×9.48042993605958e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.48042993605958e-05×40589641000000     		ar = 857257.321804209m²