Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4127 / 4131
↖ ↑ ↗
← S  1.537901°
E  1.362305°		 ← 4 884.73 m → S  1.537901°
E  1.406250°		 →
↑
4 884.71 m
↓
↑
4 884.71 m
↓
S  1.581830°
E  1.362305°		 ← 4 884.63 m →
23 860 254 m²		 S  1.581830°
E  1.406250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4127 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4131 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.50384521484375 y=0.50433349609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.50384521484375 × 213)
    floor (0.50384521484375 × 8192)
    floor (4127.5)     		tx = 4127
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.50433349609375 × 213)
    floor (0.50433349609375 × 8192)
    floor (4131.5)     		ty = 4131
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4127 / 4131 ti = "13/4127/4131"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4127/4131.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4127 ÷ 213
    4127 ÷ 8192     		x = 0.5037841796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4131 ÷ 213
    4131 ÷ 8192     		y = 0.5042724609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5037841796875 × 2 - 1) × π
    0.007568359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.02377670
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5042724609375 × 2 - 1) × π
    -0.008544921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.0268446637872314
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02377670} λ = 0.02377670}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0268446637872314))-π/2
    2×atan(0.973512451517141)-π/2
    2×0.771977443315994-π/2
    1.54395488663199-1.57079632675     		φ = -0.02684144
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02377670} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.362305°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.02684144 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.537901°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4127 KachelY 4131 0.02377670 -0.02684144 1.362305 -1.537901
    Oben rechts KachelX + 1 4128 KachelY 4131 0.02454369 -0.02684144 1.406250 -1.537901
    Unten links KachelX 4127 KachelY + 1 4132 0.02377670 -0.02760815 1.362305 -1.581830
    Unten rechts KachelX + 1 4128 KachelY + 1 4132 0.02454369 -0.02760815 1.406250 -1.581830
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.02684144--0.02760815) × R
    0.00076671 × 6371000     		dl = 4884.70941m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.02684144--0.02760815) × R
    0.00076671 × 6371000     		dr = 4884.70941m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02377670-0.02454369) × cos(-0.02684144) × R
    0.000766989999999999 × 0.999639790176627 × 6371000     		do = 4884.73312711509m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02377670-0.02454369) × cos(-0.02760815) × R
    0.000766989999999999 × 0.999618919233007 × 6371000     		du = 4884.63114138913m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.02684144)-sin(-0.02760815))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999639790176627-0.999618919233007)×R²
    abs(0.02454369-0.02377670)×2.08709436196886e-05×R²
    0.000766989999999999×2.08709436196886e-05×6371000²
    0.000766989999999999×2.08709436196886e-05×40589641000000     		ar = 23860253.9548829m²