Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41279 / 8511
↖ ↑ ↗
← N 78.837129°
E 46.752320°		 ← 118.25 m → N 78.837129°
E 46.757813°		 →
↑
118.25 m
↓
↑
118.25 m
↓
N 78.836065°
E 46.752320°		 ← 118.26 m →
13 983 m²		 N 78.836065°
E 46.757813°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41279 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8511 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629875183105469 y=0.129875183105469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629875183105469 × 216)
    floor (0.629875183105469 × 65536)
    floor (41279.5)     		tx = 41279
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.129875183105469 × 216)
    floor (0.129875183105469 × 65536)
    floor (8511.5)     		ty = 8511
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41279 / 8511 ti = "16/41279/8511"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41279/8511.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41279 ÷ 216
    41279 ÷ 65536     		x = 0.629867553710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8511 ÷ 216
    8511 ÷ 65536     		y = 0.129867553710938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.629867553710938 × 2 - 1) × π
    0.259735107421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.81598191
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.129867553710938 × 2 - 1) × π
    0.740264892578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.3256107481674
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81598191} λ = 0.81598191}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.3256107481674))-π/2
    2×atan(10.2329279196444)-π/2
    2×1.47338190008477-π/2
    2.94676380016954-1.57079632675     		φ = 1.37596747
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81598191} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.752320°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37596747 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.837129°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41279 KachelY 8511 0.81598191 1.37596747 46.752320 78.837129
    Oben rechts KachelX + 1 41280 KachelY 8511 0.81607778 1.37596747 46.757813 78.837129
    Unten links KachelX 41279 KachelY + 1 8512 0.81598191 1.37594891 46.752320 78.836065
    Unten rechts KachelX + 1 41280 KachelY + 1 8512 0.81607778 1.37594891 46.757813 78.836065
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37596747-1.37594891) × R
    1.85600000000008e-05 × 6371000     		dl = 118.245760000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37596747-1.37594891) × R
    1.85600000000008e-05 × 6371000     		dr = 118.245760000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81598191-0.81607778) × cos(1.37596747) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.193598632483005 × 6371000     		do = 118.247677009342m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81598191-0.81607778) × cos(1.37594891) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.193616841309623 × 6371000     		du = 118.258798737946m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37596747)-sin(1.37594891))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.193598632483005-0.193616841309623)×R²
    abs(0.81607778-0.81598191)×1.82088266177938e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.82088266177938e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.82088266177938e-05×40589641000000     		ar = 13982.9439851436m²