Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4128 / 4128
↖ ↑ ↗
← S  1.406109°
E  1.406250°		 ← 4 885.02 m → S  1.406109°
E  1.450195°		 →
↑
4 884.96 m
↓
↑
4 884.96 m
↓
S  1.450040°
E  1.406250°		 ← 4 884.93 m →
23 862 930 m²		 S  1.450040°
E  1.450195°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4128 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4128 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.50396728515625 y=0.50396728515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.50396728515625 × 213)
    floor (0.50396728515625 × 8192)
    floor (4128.5)     		tx = 4128
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.50396728515625 × 213)
    floor (0.50396728515625 × 8192)
    floor (4128.5)     		ty = 4128
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4128 / 4128 ti = "13/4128/4128"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4128/4128.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4128 ÷ 213
    4128 ÷ 8192     		x = 0.50390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4128 ÷ 213
    4128 ÷ 8192     		y = 0.50390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50390625 × 2 - 1) × π
    0.0078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.02454369
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.50390625 × 2 - 1) × π
    -0.0078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.0245436926054688
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02454369} λ = 0.02454369}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0245436926054688))-π/2
    2×atan(0.975755054706375)-π/2
    2×0.773127548987936-π/2
    1.54625509797587-1.57079632675     		φ = -0.02454123
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02454369} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.406250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.02454123 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.406109°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4128 KachelY 4128 0.02454369 -0.02454123 1.406250 -1.406109
    Oben rechts KachelX + 1 4129 KachelY 4128 0.02531068 -0.02454123 1.450195 -1.406109
    Unten links KachelX 4128 KachelY + 1 4129 0.02454369 -0.02530798 1.406250 -1.450040
    Unten rechts KachelX + 1 4129 KachelY + 1 4129 0.02531068 -0.02530798 1.450195 -1.450040
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.02454123--0.02530798) × R
    0.00076675 × 6371000     		dl = 4884.96425m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.02454123--0.02530798) × R
    0.00076675 × 6371000     		dr = 4884.96425m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02454369-0.02531068) × cos(-0.02454123) × R
    0.000766989999999999 × 0.999698879128554 × 6371000     		do = 4885.02186488219m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02454369-0.02531068) × cos(-0.02530798) × R
    0.000766989999999999 × 0.99967977016681 × 6371000     		du = 4884.92848906885m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.02454123)-sin(-0.02530798))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999698879128554-0.99967977016681)×R²
    abs(0.02531068-0.02454369)×1.9108961743286e-05×R²
    0.000766989999999999×1.9108961743286e-05×6371000²
    0.000766989999999999×1.9108961743286e-05×40589641000000     		ar = 23862930.2707586m²