Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41280 / 8640
↖ ↑ ↗
← N 78.699106°
E 46.757813°		 ← 119.69 m → N 78.699106°
E 46.763305°		 →
↑
119.71 m
↓
↑
119.71 m
↓
N 78.698030°
E 46.757813°		 ← 119.70 m →
14 329 m²		 N 78.698030°
E 46.763305°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41280 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8640 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629890441894531 y=0.131843566894531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629890441894531 × 216)
    floor (0.629890441894531 × 65536)
    floor (41280.5)     		tx = 41280
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.131843566894531 × 216)
    floor (0.131843566894531 × 65536)
    floor (8640.5)     		ty = 8640
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41280 / 8640 ti = "16/41280/8640"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41280/8640.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41280 ÷ 216
    41280 ÷ 65536     		x = 0.6298828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8640 ÷ 216
    8640 ÷ 65536     		y = 0.1318359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6298828125 × 2 - 1) × π
    0.259765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.81607778
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1318359375 × 2 - 1) × π
    0.736328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.31324302806543
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81607778} λ = 0.81607778}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.31324302806543))-π/2
    2×atan(10.1071493317543)-π/2
    2×1.47217742177889-π/2
    2.94435484355779-1.57079632675     		φ = 1.37355852
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81607778} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.757813°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37355852 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.699106°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41280 KachelY 8640 0.81607778 1.37355852 46.757813 78.699106
    Oben rechts KachelX + 1 41281 KachelY 8640 0.81617365 1.37355852 46.763305 78.699106
    Unten links KachelX 41280 KachelY + 1 8641 0.81607778 1.37353973 46.757813 78.698030
    Unten rechts KachelX + 1 41281 KachelY + 1 8641 0.81617365 1.37353973 46.763305 78.698030
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37355852-1.37353973) × R
    1.87899999999352e-05 × 6371000     		dl = 119.711089999587m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37355852-1.37353973) × R
    1.87899999999352e-05 × 6371000     		dr = 119.711089999587m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81607778-0.81617365) × cos(1.37355852) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.195961443101301 × 6371000     		do = 119.690852837823m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81607778-0.81617365) × cos(1.37353973) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.195979868758697 × 6371000     		du = 119.702107004015m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37355852)-sin(1.37353973))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.195961443101301-0.195979868758697)×R²
    abs(0.81617365-0.81607778)×1.84256573958486e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.84256573958486e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.84256573958486e-05×40589641000000     		ar = 14328.996080858m²