Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41281 / 8511
↖ ↑ ↗
← N 78.837129°
E 46.763305°		 ← 118.26 m → N 78.837129°
E 46.768799°		 →
↑
118.25 m
↓
↑
118.25 m
↓
N 78.836065°
E 46.763305°		 ← 118.27 m →
13 984 m²		 N 78.836065°
E 46.768799°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41281 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8511 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629905700683594 y=0.129875183105469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629905700683594 × 216)
    floor (0.629905700683594 × 65536)
    floor (41281.5)     		tx = 41281
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.129875183105469 × 216)
    floor (0.129875183105469 × 65536)
    floor (8511.5)     		ty = 8511
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41281 / 8511 ti = "16/41281/8511"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41281/8511.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41281 ÷ 216
    41281 ÷ 65536     		x = 0.629898071289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8511 ÷ 216
    8511 ÷ 65536     		y = 0.129867553710938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.629898071289062 × 2 - 1) × π
    0.259796142578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.81617365
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.129867553710938 × 2 - 1) × π
    0.740264892578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.3256107481674
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81617365} λ = 0.81617365}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.3256107481674))-π/2
    2×atan(10.2329279196444)-π/2
    2×1.47338190008477-π/2
    2.94676380016954-1.57079632675     		φ = 1.37596747
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81617365} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.763305°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37596747 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.837129°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41281 KachelY 8511 0.81617365 1.37596747 46.763305 78.837129
    Oben rechts KachelX + 1 41282 KachelY 8511 0.81626953 1.37596747 46.768799 78.837129
    Unten links KachelX 41281 KachelY + 1 8512 0.81617365 1.37594891 46.763305 78.836065
    Unten rechts KachelX + 1 41282 KachelY + 1 8512 0.81626953 1.37594891 46.768799 78.836065
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37596747-1.37594891) × R
    1.85600000000008e-05 × 6371000     		dl = 118.245760000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37596747-1.37594891) × R
    1.85600000000008e-05 × 6371000     		dr = 118.245760000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81617365-0.81626953) × cos(1.37596747) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.193598632483005 × 6371000     		do = 118.260011178279m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81617365-0.81626953) × cos(1.37594891) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.193616841309623 × 6371000     		du = 118.271134066968m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37596747)-sin(1.37594891))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.193598632483005-0.193616841309623)×R²
    abs(0.81626953-0.81617365)×1.82088266177938e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.82088266177938e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.82088266177938e-05×40589641000000     		ar = 13984.4025169111m²