Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41343 / 8063
↖ ↑ ↗
← N 79.303659°
E 47.103882°		 ← 113.36 m → N 79.303659°
E 47.109375°		 →
↑
113.34 m
↓
↑
113.34 m
↓
N 79.302640°
E 47.103882°		 ← 113.38 m →
12 849 m²		 N 79.302640°
E 47.109375°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41343 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8063 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.630851745605469 y=0.123039245605469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.630851745605469 × 216)
    floor (0.630851745605469 × 65536)
    floor (41343.5)     		tx = 41343
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.123039245605469 × 216)
    floor (0.123039245605469 × 65536)
    floor (8063.5)     		ty = 8063
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41343 / 8063 ti = "16/41343/8063"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41343/8063.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41343 ÷ 216
    41343 ÷ 65536     		x = 0.630844116210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8063 ÷ 216
    8063 ÷ 65536     		y = 0.123031616210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.630844116210938 × 2 - 1) × π
    0.261688232421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.82211783
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.123031616210938 × 2 - 1) × π
    0.753936767578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.36856221022697
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.82211783} λ = 0.82211783}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.36856221022697))-π/2
    2×atan(10.6820227346252)-π/2
    2×1.47745314453432-π/2
    2.95490628906863-1.57079632675     		φ = 1.38410996
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.82211783} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.103882°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38410996 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.303659°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41343 KachelY 8063 0.82211783 1.38410996 47.103882 79.303659
    Oben rechts KachelX + 1 41344 KachelY 8063 0.82221370 1.38410996 47.109375 79.303659
    Unten links KachelX 41343 KachelY + 1 8064 0.82211783 1.38409217 47.103882 79.302640
    Unten rechts KachelX + 1 41344 KachelY + 1 8064 0.82221370 1.38409217 47.109375 79.302640
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38410996-1.38409217) × R
    1.77900000000175e-05 × 6371000     		dl = 113.340090000112m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38410996-1.38409217) × R
    1.77900000000175e-05 × 6371000     		dr = 113.340090000112m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.82211783-0.82221370) × cos(1.38410996) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.185603862240406 × 6371000     		do = 113.364569121202m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.82211783-0.82221370) × cos(1.38409217) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.18562134310359 × 6371000     		du = 113.375246218644m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38410996)-sin(1.38409217))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185603862240406-0.18562134310359)×R²
    abs(0.82221370-0.82211783)×1.74808631842327e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.74808631842327e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.74808631842327e-05×40589641000000     		ar = 12849.3555390399m²