Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41348 / 8068
↖ ↑ ↗
← N 79.298560°
E 47.131348°		 ← 113.42 m → N 79.298560°
E 47.136841°		 →
↑
113.47 m
↓
↑
113.47 m
↓
N 79.297540°
E 47.131348°		 ← 113.43 m →
12 870 m²		 N 79.297540°
E 47.136841°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41348 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8068 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.630928039550781 y=0.123115539550781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.630928039550781 × 216)
    floor (0.630928039550781 × 65536)
    floor (41348.5)     		tx = 41348
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.123115539550781 × 216)
    floor (0.123115539550781 × 65536)
    floor (8068.5)     		ty = 8068
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41348 / 8068 ti = "16/41348/8068"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41348/8068.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41348 ÷ 216
    41348 ÷ 65536     		x = 0.63092041015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8068 ÷ 216
    8068 ÷ 65536     		y = 0.12310791015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.63092041015625 × 2 - 1) × π
    0.2618408203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.82259720
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.12310791015625 × 2 - 1) × π
    0.7537841796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.36808284123077
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.82259720} λ = 0.82259720}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.36808284123077))-π/2
    2×atan(10.6769033312491)-π/2
    2×1.47740864768727-π/2
    2.95481729537455-1.57079632675     		φ = 1.38402097
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.82259720} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.131348°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38402097 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.298560°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41348 KachelY 8068 0.82259720 1.38402097 47.131348 79.298560
    Oben rechts KachelX + 1 41349 KachelY 8068 0.82269307 1.38402097 47.136841 79.298560
    Unten links KachelX 41348 KachelY + 1 8069 0.82259720 1.38400316 47.131348 79.297540
    Unten rechts KachelX + 1 41349 KachelY + 1 8069 0.82269307 1.38400316 47.136841 79.297540
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38402097-1.38400316) × R
    1.7809999999896e-05 × 6371000     		dl = 113.467509999337m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38402097-1.38400316) × R
    1.7809999999896e-05 × 6371000     		dr = 113.467509999337m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.82259720-0.82269307) × cos(1.38402097) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.185691305273135 × 6371000     		do = 113.417978256165m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.82259720-0.82269307) × cos(1.38400316) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.185708805494498 × 6371000     		du = 113.428667177345m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38402097)-sin(1.38400316))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185691305273135-0.185708805494498)×R²
    abs(0.82269307-0.82259720)×1.75002213621545e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.75002213621545e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.75002213621545e-05×40589641000000     		ar = 12869.8620049572m²