Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 4135 / 4105
↖ ↑ ↗
← S  0.395505°
E  1.713867°		 ← 4 886.38 m → S  0.395505°
E  1.757813°		 →
↑
4 886.37 m
↓
↑
4 886.37 m
↓
S  0.439449°
E  1.713867°		 ← 4 886.35 m →
23 876 560 m²		 S  0.439449°
E  1.757813°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4135 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4105 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.50482177734375 y=0.50115966796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.50482177734375 × 213)
    floor (0.50482177734375 × 8192)
    floor (4135.5)     		tx = 4135
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.50115966796875 × 213)
    floor (0.50115966796875 × 8192)
    floor (4105.5)     		ty = 4105
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4135 / 4105 ti = "13/4135/4105"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4135/4105.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4135 ÷ 213
    4135 ÷ 8192     		x = 0.5047607421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4105 ÷ 213
    4105 ÷ 8192     		y = 0.5010986328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5047607421875 × 2 - 1) × π
    0.009521484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.02991263
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5010986328125 × 2 - 1) × π
    -0.002197265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.00690291354528809
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02991263} λ = 0.02991263}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.00690291354528809))-π/2
    2×atan(0.993120856836008)-π/2
    2×0.781946734034921-π/2
    1.56389346806984-1.57079632675     		φ = -0.00690286
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02991263} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.713867°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.00690286 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.395505°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4135 KachelY 4105 0.02991263 -0.00690286 1.713867 -0.395505
    Oben rechts KachelX + 1 4136 KachelY 4105 0.03067962 -0.00690286 1.757813 -0.395505
    Unten links KachelX 4135 KachelY + 1 4106 0.02991263 -0.00766983 1.713867 -0.439449
    Unten rechts KachelX + 1 4136 KachelY + 1 4106 0.03067962 -0.00766983 1.757813 -0.439449
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.00690286--0.00766983) × R
    0.00076697 × 6371000     		dl = 4886.36587m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.00690286--0.00766983) × R
    0.00076697 × 6371000     		dr = 4886.36587m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02991263-0.03067962) × cos(-0.00690286) × R
    0.000766990000000002 × 0.999976175356513 × 6371000     		do = 4886.37687103948m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02991263-0.03067962) × cos(-0.00766983) × R
    0.000766990000000002 × 0.999970586998074 × 6371000     		du = 4886.34956356346m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.00690286)-sin(-0.00766983))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999976175356513-0.999970586998074)×R²
    abs(0.03067962-0.02991263)×5.58835843889049e-06×R²
    0.000766990000000002×5.58835843889049e-06×6371000²
    0.000766990000000002×5.58835843889049e-06×40589641000000     		ar = 23876559.6238802m²