Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41352 / 8584
↖ ↑ ↗
← N 78.759229°
E 47.153320°		 ← 119.07 m → N 78.759229°
E 47.158814°		 →
↑
119.07 m
↓
↑
119.07 m
↓
N 78.758158°
E 47.153320°		 ← 119.09 m →
14 179 m²		 N 78.758158°
E 47.158814°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41352 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8584 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.630989074707031 y=0.130989074707031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.630989074707031 × 216)
    floor (0.630989074707031 × 65536)
    floor (41352.5)     		tx = 41352
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.130989074707031 × 216)
    floor (0.130989074707031 × 65536)
    floor (8584.5)     		ty = 8584
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41352 / 8584 ti = "16/41352/8584"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41352/8584.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41352 ÷ 216
    41352 ÷ 65536     		x = 0.6309814453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8584 ÷ 216
    8584 ÷ 65536     		y = 0.1309814453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6309814453125 × 2 - 1) × π
    0.261962890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.82298069
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1309814453125 × 2 - 1) × π
    0.738037109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.31861196082288
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.82298069} λ = 0.82298069}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.31861196082288))-π/2
    2×atan(10.1615598694445)-π/2
    2×1.47270209123458-π/2
    2.94540418246916-1.57079632675     		φ = 1.37460786
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.82298069} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.153320°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37460786 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.759229°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41352 KachelY 8584 0.82298069 1.37460786 47.153320 78.759229
    Oben rechts KachelX + 1 41353 KachelY 8584 0.82307657 1.37460786 47.158814 78.759229
    Unten links KachelX 41352 KachelY + 1 8585 0.82298069 1.37458917 47.153320 78.758158
    Unten rechts KachelX + 1 41353 KachelY + 1 8585 0.82307657 1.37458917 47.158814 78.758158
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37460786-1.37458917) × R
    1.86900000000989e-05 × 6371000     		dl = 119.07399000063m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37460786-1.37458917) × R
    1.86900000000989e-05 × 6371000     		dr = 119.07399000063m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.82298069-0.82307657) × cos(1.37460786) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.194932340424342 × 6371000     		do = 119.074708648133m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.82298069-0.82307657) × cos(1.37458917) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.194950671854262 × 6371000     		du = 119.08590642923m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37460786)-sin(1.37458917))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.194932340424342-0.194950671854262)×R²
    abs(0.82307657-0.82298069)×1.83314299198323e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.83314299198323e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.83314299198323e-05×40589641000000     		ar = 14179.3673495024m²