Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 4136 / 12328
↖ ↑ ↗
← N 40.647304°
W134.560547°		 ← 926.90 m → N 40.647304°
W134.549561°		 →
↑
926.98 m
↓
↑
926.98 m
↓
N 40.638967°
W134.560547°		 ← 927.01 m →
859 271 m²		 N 40.638967°
W134.549561°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4136 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12328 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.126235961914062 y=0.376235961914062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.126235961914062 × 215)
    floor (0.126235961914062 × 32768)
    floor (4136.5)     		tx = 4136
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.376235961914062 × 215)
    floor (0.376235961914062 × 32768)
    floor (12328.5)     		ty = 12328
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4136 / 12328 ti = "15/4136/12328"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4136/12328.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4136 ÷ 215
    4136 ÷ 32768     		x = 0.126220703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12328 ÷ 215
    12328 ÷ 32768     		y = 0.376220703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.126220703125 × 2 - 1) × π
    -0.74755859375 × 3.1415926535     		Λ = -2.34852459
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.376220703125 × 2 - 1) × π
    0.24755859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.777728259435791
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.34852459} λ = -2.34852459}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.777728259435791))-π/2
    2×atan(2.17652215127949)-π/2
    2×1.14011280300083-π/2
    2.28022560600167-1.57079632675     		φ = 0.70942928
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.34852459} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.560547°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.70942928 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 40.647304°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4136 KachelY 12328 -2.34852459 0.70942928 -134.560547 40.647304
    Oben rechts KachelX + 1 4137 KachelY 12328 -2.34833284 0.70942928 -134.549561 40.647304
    Unten links KachelX 4136 KachelY + 1 12329 -2.34852459 0.70928378 -134.560547 40.638967
    Unten rechts KachelX + 1 4137 KachelY + 1 12329 -2.34833284 0.70928378 -134.549561 40.638967
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.70942928-0.70928378) × R
    0.000145500000000021 × 6371000     		dl = 926.980500000131m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.70942928-0.70928378) × R
    0.000145500000000021 × 6371000     		dr = 926.980500000131m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.34852459--2.34833284) × cos(0.70942928) × R
    0.000191749999999935 × 0.758733767032798 × 6371000     		do = 926.898950107309m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.34852459--2.34833284) × cos(0.70928378) × R
    0.000191749999999935 × 0.758828537825225 × 6371000     		du = 927.014725827091m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.70942928)-sin(0.70928378))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.758733767032798-0.758828537825225)×R²
    abs(-2.34833284--2.34852459)×9.47707924267016e-05×R²
    0.000191749999999935×9.47707924267016e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.47707924267016e-05×40589641000000     		ar = 859270.914653306m²