Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41360 / 8336
↖ ↑ ↗
← N 79.021712°
E 47.197265°		 ← 116.33 m → N 79.021712°
E 47.202759°		 →
↑
116.33 m
↓
↑
116.33 m
↓
N 79.020666°
E 47.197265°		 ← 116.34 m →
13 534 m²		 N 79.020666°
E 47.202759°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41360 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8336 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.631111145019531 y=0.127204895019531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.631111145019531 × 216)
    floor (0.631111145019531 × 65536)
    floor (41360.5)     		tx = 41360
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.127204895019531 × 216)
    floor (0.127204895019531 × 65536)
    floor (8336.5)     		ty = 8336
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41360 / 8336 ti = "16/41360/8336"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41360/8336.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41360 ÷ 216
    41360 ÷ 65536     		x = 0.631103515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8336 ÷ 216
    8336 ÷ 65536     		y = 0.127197265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.631103515625 × 2 - 1) × π
    0.26220703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.82374768
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.127197265625 × 2 - 1) × π
    0.74560546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.34238866303442
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.82374768} λ = 0.82374768}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.34238866303442))-π/2
    2×atan(10.4060634785243)-π/2
    2×1.4749926943217-π/2
    2.94998538864341-1.57079632675     		φ = 1.37918906
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.82374768} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.197265°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37918906 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.021712°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41360 KachelY 8336 0.82374768 1.37918906 47.197265 79.021712
    Oben rechts KachelX + 1 41361 KachelY 8336 0.82384356 1.37918906 47.202759 79.021712
    Unten links KachelX 41360 KachelY + 1 8337 0.82374768 1.37917080 47.197265 79.020666
    Unten rechts KachelX + 1 41361 KachelY + 1 8337 0.82384356 1.37917080 47.202759 79.020666
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37918906-1.37917080) × R
    1.82600000000477e-05 × 6371000     		dl = 116.334460000304m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37918906-1.37917080) × R
    1.82600000000477e-05 × 6371000     		dr = 116.334460000304m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.82374768-0.82384356) × cos(1.37918906) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.190436993156338 × 6371000     		do = 116.328719116357m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.82374768-0.82384356) × cos(1.37917080) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.190454918956001 × 6371000     		du = 116.339669117612m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37918906)-sin(1.37917080))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.190436993156338-0.190454918956001)×R²
    abs(0.82384356-0.82374768)×1.79257996635873e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.79257996635873e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.79257996635873e-05×40589641000000     		ar = 13533.6756528539m²